Generative eBooks

Le modèle de Rosenzweig-McArthur

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:54Z

Nous revenons aux proies et aux prédateurs. Nous avons précédemment étudié un modèle de base pour l'interaction entre les requins et les sardines, à savoir . $$ \begincases \dotx= x(1-x) - xy\ \doty=\beta y ( x-\alpha) \endcases $$ où $x$ représente la densité de sardines, $y$ la densité de requins, et $\alpha,\beta$ sont des paramètres positifs. Nous avons observé et prouvé qu'il ne peut y avoir de cycles limites dans ce modèle, ce qui signifie que les populations de requins et de sardines (…)

- Théorèmes et exemples

Le pendule idéal

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:52Z

Considérons le mouvement du pendule idéalisé suivant : un bob de masse $m$ est attaché à une extrémité d'une tige rigide sans masse. L'autre extrémité de la tige est pivotée afin que la masse puisse osciller dans un plan vertical. Nous négligeons à la fois le frottement du pivot et la résistance de l'air.
Le balancement du pendule est gouverné par $$ \ddot\theta=-\fracgL \sin \theta $$ où $\theta$ est l'angle entre la tige et la verticale descendante. Cette équation est dérivée dans tous (…)

- Théorèmes et exemples

Construire un cycle limite à partir de zéro

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:51Z

Nous voulons cuisiner un exemple simple de cycle limite, une sorte de modèle jouet. Cherchons un système ayant le cercle de rayon un centré à $(0,0)$ comme cycle limite attracteur. L'astuce consiste à penser en termes de coordonnées polaires $(r,\theta)$. La situation la plus simple serait d'avoir des équations non couplées pour les mouvements radiaux et angulaires : $$ \begincases \dotr=f(r)\ \dot\theta=g(\theta). \endcases $$ Dans la direction $r$, nous voulons que $f(1)=0$, c'est-à-dire (…)

- Théorèmes et exemples

Théorème de Lyapunov

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:49Z

Supposons que l'on puisse trouver une fonction à valeur réelle continuellement différentiable $L(\boldsymbolx)$ telle que $L(\boldsymbolx)>L(\bar\boldsymbolx)$ pour tout $\boldsymbolx$ dans un certain voisinage $U$ de $\bar\boldsymbolx$.
Si $\dotL(\boldsymbolx)\leq 0$ pour tout $\boldsymbolx$ dans $U$, alors $\bar\boldsymbolx$ est stable.
Si $\dotL(\boldsymbolx)< 0$ pour tout $\boldsymbolx$ dans $U\backslash\\bar\boldsymbolx\$, alors $\bar\boldsymbolx$ est asymptotiquement stable.
Si (…)

- Théorèmes et exemples

Théorème de Hartman-Grobman

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:48Z

Supposons que $(\bar x,\bar y)$ soit un point fixe d'un système...
$$ \begincases \dotx = f(x,y)\\ \doty= g(x,y). \endcases $$ Supposons que la partie réelle des valeurs propres de la matrice jacobienne
$$ A= \beginpmatrix \frac\partial f\partial x\scriptstyle(\bar x,\bar y) & \frac\partial f\partial y\scriptstyle(\bar x,\bar y) \frac\partial g\partial x\scriptstyle(\bar x,\bar y) & \frac\partial g\partial x\scriptstyle(\bar x,\bar y) \endpmatrix $$ sont non nuls. Il existe alors (…)

- Théorèmes et exemples

Théorème de Poincaré-Bendixson

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:47Z

Consider a system
$$ \begincases \dotx=f(x,y)\\ \doty=g(x,y) \endcases $$
where $f$ and $g$ have continuous partial derivatives, and such that solutions exist for all $t$. Let $R$ denote a closed, bounded region of the $xy$-plane which contains no fixed points. Suppose that no solution may leave $R$. Then the system has a periodic solution in the region $R$.

- Théorèmes et exemples

Théorème de bifurcation d'Andronov-Hopf

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:45Z

Assume que, au voisinage de $\mu=\mu^*$, la matrice jacobienne du champ de vecteurs évalué en $(\barx(\mu),\bary(\mu))$ a des valeurs propres de la forme
$$ a(\mu)\pm i b(\mu) $$
avec
$$ a(\mu^*)=0\quad\textet\quad b(\mu^*)\neq 0. $$
Supposons également que les parties réelles des valeurs propres changent de signe lorsque l'on fait varier $\mu$ à travers $\mu^*$, c'est-à-dire ,
$$ \frac\textda\textd\mu(\mu^*)\neq 0. $$
Compte tenu de ces hypothèses, les possibilités (…)

- Théorèmes et exemples

Ensembles de Julia

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:30Z

Nous terminons par la dynamique complexe, un domaine fascinant des mathématiques, largement connu à cause du célèbre ensemble de Mandelbrot. Nous considérons l'exemple le plus simple. Considérons la carte quadratique $f_c(z)=z^2+c$. Définissez alors
$$ z_n+1=f_c(z_n)=z_n^2+c $$
où $z_n$ et $c$ sont des nombres complexes. Étant donné une condition initiale $z_0$, nous pouvons calculer son image $z_1=f_c(z_0)$, puis l'image de son image, à savoir $z_2=f_c(z_1)=f_c^2(z_0)$, et ainsi de (…)

- Et ensuite ?

Les motifs de Turing

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:28Z

Il est évident que de nombreux phénomènes naturels ne sont pas capturés par les équations différentielles car il y a des changements à la fois dans le temps et dans l'espace. Mathématiquement, cela signifie que nous devons considérer des équations différentielles partielles. Dans les équations dites de réaction-diffusion, il y a des réactions locales dans lesquelles les substances se transforment les unes dans les autres et peuvent être dégradées, et la diffusion qui fait que les substances (…)

- Et ensuite ?

Un modèle proie-prédateur à temps discret

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:26Z

Dans les modèles de population que nous avons vus, les modèles d'équation différentielle impliquent un chevauchement continu des générations. Mais de nombreuses espèces n'ont pas le moindre chevauchement entre les générations successives et la croissance de la population se fait donc par paliers discrets. Nous obtenons des équations différentielles définies par un mappage. Comme nous l'avons vu, il faut au moins trois variables (c'est-à-dire un espace de phase tridimensionnel) pour obtenir (…)

- Et ensuite ?