Generative eBooks

Ce que nous avons appris jusqu'à présent

Generative eBooks — 2022-06-26T13:12:02Z

Nous résumons les points saillants de ce chapitre.

Nous avons d'abord considéré quelques exemples d'équations différentielles unidimensionnelles, c'est-à-dire des équations de la forme $\dotx=f(x)$, où $x\in\mathbbR$ et $f :\mathbbR\to\mathbbR$. Nous nous attendons à ce qu'une multitude d'informations sur le comportement des solutions puisse être facilement obtenue à partir d'une simple étude graphique, à savoir en traçant $\dotx$ en fonction de $x$, sans résoudre réellement l'équation. Il ne reste plus que la question de l'existence et de l'unicité de (...)

- Un premier aperçu à travers des exemples

Attracteur chaotique dans un « écosystème » où deux espèces concurrentes sont mangées par une troisième.

Generative eBooks — 2022-06-26T13:12:01Z

Revenons à l'écologie pour mettre en avant un phénomène étonnant, à savoir le chaos déterministe. Nous verrons d'autres exemples par la suite. Notre but n'est pas d'analyser complètement ce phénomène ici, mais plutôt de montrer à quel point le comportement d'un modèle d'apparence innocente peut être complexe.
Nous modélisons l'interaction entre un prédateur et deux populations de proies concurrentes de la manière la plus simple qui soit. Considérons d'abord les deux populations de proies (…)

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L'attracteur périodique de Van der Pol

Generative eBooks — 2022-06-26T13:11:59Z

L'équation de Van der Pol a été conçue comme un modèle d'oscillateur électronique dans les années 1920. Nous ne nous étendrons pas sur la dérivation de ce modèle. Il s'agit en tout cas d'une description mathématique d'une technologie obsolète basée sur les tubes radio, les prédécesseurs de nos transistors actuels. L'équation est $$ \ddotu+\epsilon(1-u^2)\dotu+u=0 $$ où $u$ représente la tension.

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Un nouveau regard sur le pendule

Generative eBooks — 2022-06-26T13:11:57Z

Considérons le mouvement du pendule idéalisé suivant : un poids de masse $m$ est attaché à une extrémité d'une tige rigide sans masse. L'autre extrémité de la tige est pivotante afin que la masse puisse osciller dans un plan vertical. Nous négligeons à la fois le frottement du pivot et la résistance de l'air.
Le balancement du pendule est gouverné par l'équation $$ \ddot\theta=-\fracgL \sin \theta $$ où $\theta$ est l'angle entre la tige et la verticale orientée vers le bas. Cette équation (…)

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L'oscillateur harmonique

Generative eBooks — 2022-06-26T13:11:55Z

Considérons maintenant un exemple élémentaire issu de la mécanique classique.
L'oscillateur harmonique est l'exemple le plus simple d'une particule de masse $m$ contrainte de se déplacer sur une droite, que l'on prend comme. l'axe des $x$, soumise à une force $f(x)$ lorsqu'elle se trouve à la position $x$. Supposer que cette force est indépendante de la vitesse $\dotx$ revient à exclure le frottement. D'après la deuxième loi de Newton, on a $$ m \ddotx=f(x). $$ Dans le cas de l'oscillateur (…)

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Requins et sardines

Generative eBooks — 2022-06-26T13:11:54Z

Le modèle que nous allons étudier sert d'introduction à l'analyse qualitative des équations différentielles dans le plan. Nous allons introduire la notion de portrait de phase.
Le modèle
Le mathématicien Vito Volterra a proposé dans les années 1920 un modèle décrivant l'interaction entre les requins et les sardines, après avoir été sollicité par le biologiste marin D'Anconna pour analyser des données de pêche réelles provenant de la mer Adriatique.
Soit $x(t)$ la densité de sardines en (…)

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L'équation logistique

Generative eBooks — 2022-06-26T13:11:51Z

À court terme, l'équation $\dotx = ax$ avec $a > 0$ permet de modéliser de manière pertinente notre population de bactéries. En effet, on peut raisonnablement supposer que, sur un intervalle de temps suffisamment court, les bactéries ne se gênent pas les unes les autres et que la taille de la population est $\texte^atx_0$ s'il y a $x_0$ bactéries au temps $0$. Mais avec le temps, une telle croissance exponentielle mènerait à un nombre de bactéries absurdement élevé — dépassant même le nombre (…)

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L'exemple le plus simple

Generative eBooks — 2022-06-26T13:11:50Z

L'équation différentielle la plus simple est $$\dotx=ax$$ où $x\in\mathbbR$ et $a$ est un paramètre à valeur réelle. Malgré sa simplicité, cette équation nous permet d'introduire plusieurs concepts importants pour la suite de cet ebook. Nous pouvons l'interpréter comme un modèle naïf de la croissance des populations bactériennes.
Bactéries. Considérons un récipient rempli d'une solution nutritive et de bactéries. Au fil du temps, les bactéries se reproduisent (par division) et meurent. (…)

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