Generative eBooks

Bifurcations : un premier aperçu

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:06Z

Nous avons vu que les systèmes unidimensionnels présentent, à première vue, un comportement assez basique. Toutefois, la dépendance aux paramètres introduit une richesse nouvelle, en rendant possibles des modifications qualitatives du comportement des solutions.
Ce chapitre vise à introduire quelques exemples et non à développer la théorie complète. Nous verrons d'autres types de bifurcations lorsque nous passerons à des systèmes bidimensionnels et tridimensionnels.
Le cadre de base est (…)

- Partie I : Systèmes unidimensionnels : flots sur la droite réelle

Interlude : Impossibilité d'oscillations périodiques

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:04Z

Le fait d'être contraint de se déplacer sur la droite réelle oblige les solutions à croître ou décroître de façon monotone, ou à rester constantes (point fixe). Plus précisément, les solutions non constantes s'approchent d'un point fixe, ou divergent vers $\pm\infty$ de façon monotone. Pour le dire de manière plus géométrique, une particule qui circule sur la droite réelle selon la formule $\dotx=f(x)$ ne change jamais de direction. Il n'existe donc pas de solutions périodiques à de telles (…)

- Partie I : Systèmes unidimensionnels : flots sur la droite réelle

Points fixes et leur stabilité

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:02Z

Pour une équation $\dotx=f(x)$, rappelons qu'un point fixe $\barx$ est un point tel que $f(\barx\,)=0$ ; il correspond à une solution constante ou stationnaire $x(t)=\barx$ qui est évidemment définie pour tout $t\in\mathbbR$.
Considérons à nouveau l'équation logistique $\dotx=bx-dx^2$ pour $x\geq 0$ ; elle possède deux points fixes, à savoir $0$ et $b/d$. Intuitivement, $0$ est un point fixe instable car il « repousse » les solutions qui partent de $x_0\in\, ]0,b/d[$, tandis que $b/d$ est (…)

- Partie I : Systèmes unidimensionnels : flots sur la droite réelle

Existence, unicité et durée de vie des solutions

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:00Z

Si l'on se donne un système $\dotx=f(x)$ et un état initial $x_0$, existe-t-il une solution $x(t)$ à cette équation telle que $x(0)=x_0$ ? Il s'avère que si $f$ est une fonction continue, alors l'existence est garantie. L'exemple $$ f(x)= \begincases 1 & \textif\quad x< 0\ 1 & \textif\quad x\geq 0 \endcases $$ montre que lorsque $f$ est discontinue, les choses peuvent mal tourner : il n'existe pas de solution qui satisfasse $x(0)=0$.
La question naturelle suivante concerne (…)

- Partie I : Systèmes unidimensionnels : flots sur la droite réelle

Prélude : étude graphique des équations différentielles unidimensionnelles

Generative eBooks — 2022-06-26T13:12:58Z

L'étude graphique de l'équation logistique que nous avons faite dans un chapitre antérieur ouvre la voie au cas général. En effet, si $\dotx=f(x)$, tracez $\dotx$ en fonction de $x$, c'est-à-dire le graphe de $f$. Les points d'intersection avec l'axe des $x$ sont les points fixes. Entre deux points fixes, le graphe est soit au-dessus, soit au-dessous de l'axe des $x$ : dans le premier cas, $\dotx>0$, ce qui signifie que $t\mapsto x(t)$ est une fonction croissante, ce qui peut être représenté (…)

- Partie I : Systèmes unidimensionnels : flots sur la droite réelle