Generative eBooks

Un modèle de propagation des maladies infectieuses

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:55Z

Nous étudions l'un des modèles les plus simples utilisés dans les épidémies. Nous divisons une population donnée en trois groupes disjoints. La population des individus sensibles est désignée par $S$, la population infectée par $I$, et la population guérie par $R$. Bien entendu, chacune de ces sous-populations est une fonction du temps. Nous faisons les hypothèses suivantes : la population totale est constante (pas de naissance ni de décès), de sorte que $\dotP=0$, où $P(t)=S(t)+I(t)+R(t)$. (…)

- Trois exemples tirés de la biologie

La croissance de deux populations en compétition

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:53Z

Nous étudions ici le modèle le plus simple décrivant deux populations qui sont en compétition pour la même source de nourriture limitée ou qui, d'une manière ou d'une autre, inhibent la croissance de l'autre. Par exemple, la compétition peut porter sur le territoire qui est directement lié aux ressources alimentaires.
Le modèle est donné par $$ \begincases \dotx=r_1 \, x\left(1-\fracxK_1-\fracb_12yK_1\right) \ \doty=r_2\, (…)

- Trois exemples tirés de la biologie

Requins et sardines

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:52Z

Nous revenons au modèle proie-prédateur que nous avons introduit dans la première partie. Sous forme adimensionnelle, il est donné par les équations suivantes
$$ \begincases \dotx= x(1-x-y)\ \doty=\beta(x-\alpha)y \endcases $$
où $\alpha,\beta$ sont des paramètres positifs. Sous cette forme, la capacité de charge des proies est normalisée pour être égale à un. Nous ne nous intéressons qu'au quadrant positif puisque $x,y$ sont interprétés comme des abondances de populations (…)

- Trois exemples tirés de la biologie

Portraits de phase

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:46Z

Le portrait de phase d'une équation donnée $\dot\boldsymbolx=\boldsymbolf(\boldsymbolx)$ est un tracé de trajectoires typiques dans le plan $xy$. Pour la plupart des exemples intéressants rencontrés dans les applications, il n'y a aucun espoir de trouver les trajectoires de manière analytique. Et même lorsque des formules explicites sont disponibles (ce qui arrive très rarement), elles sont souvent trop compliquées pour donner une idée précise. Nous allons plutôt essayer de déterminer le (…)

- Partie II : Systèmes bidimensionnels : écoulements dans le plan

Systèmes linéaires

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:44Z

Nous avons dit précédemment que la plupart des équations différentielles ne peuvent pas être résolues explicitement. Ce n'est pas complètement vrai : les équations différentielles linéaires peuvent être analysées de manière approfondie. La plupart des modèles en physique, biologie, etc, sont des équations différentielles non linéaires, mais celles qui sont linéaires jouent un rôle important dans la classification de leurs points fixes, comme on le verra au chapitre suivant.
Définition
Un (…)

- Partie II : Systèmes bidimensionnels : écoulements dans le plan

Linéarisation : ce qui se passe près des points fixes

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:42Z

Dans ce chapitre, nous développons une idée naturelle : on devrait pouvoir approximer le portrait de phase au voisinage d'un point fixe par celui d'un système linéaire correspondant. Nous verrons ce que cela signifie et quand cela est possible.
Système linéarisé
Considérons le système $$ \begincases \dotx = f(x,y)\ \doty = g(x,y) \endcases $$ et supposons que $(\bar x,\bar y)$ soit un point fixe, c'est-à-dire, $$ f(\bar x,\bar y)=0, \thinspace g(\bar x,\bar y)=0. $$ Introduisons de (…)

- Partie II : Systèmes bidimensionnels : écoulements dans le plan

Interlude : pour le plaisir des yeux

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:40Z

Tous les modèles que nous avons présentés jusqu'ici sont motivés par la physique ou la biologie. Ici, vous pouvez parcourir une galerie de portraits de phase de systèmes bidimensionnels que nous trouvons beaux, sans vous soucier de ce qu'ils pourraient potentiellement modéliser.

- Partie II : Systèmes bidimensionnels : écoulements dans le plan

Oscillations périodiques et cycles limites

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:39Z

Nous présentons divers exemples où des cycles limites attractifs apparaissent.
Nous avons jusqu'à présent étudié la chose la plus simple que peut faire une solution d'une équation différentielle : être attirée ou repoussée par un point fixe. La prochaine chose la plus simple qu'elle puisse faire est de se comporter périodiquement dans le temps, c'est-à-dire de tracer une courbe fermée, appelée cycle. Nous avons déjà rencontré des exemples de solutions périodiques dans la première partie de (…)

- Partie II : Systèmes bidimensionnels : écoulements dans le plan

Bifurcations

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:38Z

Nous présentons divers exemples où des cycles limites attractifs apparaissent.
Nous étendons ici ce que nous avons vu sur les bifurcations dans les systèmes unidimensionnels. En dimension deux, nous constatons toujours que les points fixes peuvent être créés ou détruits ou déstabilisés lorsque nous faisons varier un paramètre. Mais il y a une nouveauté : des solutions périodiques sont possibles, et il existe des moyens de les activer ou de les désactiver en réglant un paramètre. C'est ce (…)

- Partie II : Systèmes bidimensionnels : écoulements dans le plan

Exemples avec des cycles limites

Generative eBooks — 2022-06-26T13:13:35Z

Nous présentons divers exemples où des cycles limites attractifs apparaissent.
Cycles de proies et de prédateurs : le modèle Rosenzweig-McArthur
Nous revenons aux proies et aux prédateurs. Nous avons précédemment étudié un modèle de base pour l'interaction des requins et des sardines, à savoir . $$ \begincases \dotx= x(1-x) - xy\ \doty=\beta y ( x-\alpha) \endcases $$
où $x$ représente la densité de sardines, $y$ la densité de requins, et $\alpha,\beta$ sont des paramètres positifs. (…)

- Partie II : Systèmes bidimensionnels : écoulements dans le plan