Generative eBooks

L'attracteur de Rössler

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:15Z

En 1976, Rössler a construit le système tridimensionnel suivant. $$ \begincases \dotx=-y-z\ \doty=x+a y\ \dotz = b+z(x-c) \endcases $$
où $a,b$, et $c$ sont des paramètres. Rössler cherchait un système se comportant comme le système de Lorenz, mais plus facile à analyser. Notez que le seul terme non linéaire apparaît dans l'équation $\dotz$ et est quadratique. Notez également que, si $z=0$, nous obtenons un système linéaire dans le plan $xy$. Lorsque les paramètres varient, ce système (…)

- Partie III : Au-delà des flux dans le plan : quasipériodicité & chaos

De la quasi-périodicité au chaos

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:14Z

Apart from fixed points, closed trajectories and strange attractors, there is a fourth major type of attractor, namely a torus (generalization of a circle) on which solutions may wrap densely. This phenomenon is called quasiperiodicity. We shall start with the simplest example of quasiperiodicity before studying the planar double pendulum which exhibits periodicity, quasiperiodicity and chaos.
A toy example : a pair of undamped harmonic oscillators
At the beginning of this ebook, we (…)

- Partie III : Au-delà des flux dans le plan : quasipériodicité & chaos

Quatre autres attracteurs étranges

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:12Z

In this section, you can observe attractors arising in different domains. Our goal is to show chaotic strange attractors with different shapes arising in diverse contexts.
A chaotic three-species food chain
In 1991, Hastings and Powell proposed the following model of a three-level food chain : $$ \begincases \dotx=x\,(1-x)-f_1(x)\,y\ \doty=f_1(x)\,y - f_2(y)\,z-d_1 y\ \dotz = f_2(y)\,z-d_2 z \endcases $$ with $$ f_1(x)=\fraca_1 x 1+b_1 x\quad\textand\quad f_2(y)=\fraca_2 y 1+b_2 y. $$ (…)

- Partie III : Au-delà des flux dans le plan : quasipériodicité & chaos

L'attracteur de Lorenz

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:11Z

Introduction
Nous étudions les systèmes tridimensionnels de la forme $$ \begincases \dotx=f(x,y,z)\ \doty=g(x,y,z)\ \dotz=h(x,y,z) \endcases $$
où $f,g,h :\mathbbR^3\to\mathbbR$ sont des fonctions continûment différentiables. Étant donnée une condition initiale $(x_0,y_0,z_0)$, il existe une solution unique $(x(t),y(t),z(t))$ passant par $(x_0,y_0,z_0)$ au temps $t=0$. Comme les systèmes bidimensionnels, les systèmes tridimensionnels peuvent avoir des points fixes que l'on peut étudier (…)

- Partie III : Au-delà des flux dans le plan : quasipériodicité & chaos