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Le modèle de Rosenzweig-McArthur

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:54Z

Nous revenons aux proies et aux prédateurs. Nous avons précédemment étudié un modèle de base pour l'interaction entre les requins et les sardines, à savoir . $$ \begincases \dotx= x(1-x) - xy\ \doty=\beta y ( x-\alpha) \endcases $$ où $x$ représente la densité de sardines, $y$ la densité de requins, et $\alpha,\beta$ sont des paramètres positifs. Nous avons observé et prouvé qu'il ne peut y avoir de cycles limites dans ce modèle, ce qui signifie que les populations de requins et de sardines (…)

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Le pendule idéal

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:52Z

Considérons le mouvement du pendule idéalisé suivant : un bob de masse $m$ est attaché à une extrémité d'une tige rigide sans masse. L'autre extrémité de la tige est pivotée afin que la masse puisse osciller dans un plan vertical. Nous négligeons à la fois le frottement du pivot et la résistance de l'air.
Le balancement du pendule est gouverné par $$ \ddot\theta=-\fracgL \sin \theta $$ où $\theta$ est l'angle entre la tige et la verticale descendante. Cette équation est dérivée dans tous (…)

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Construire un cycle limite à partir de zéro

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:51Z

Nous voulons cuisiner un exemple simple de cycle limite, une sorte de modèle jouet. Cherchons un système ayant le cercle de rayon un centré à $(0,0)$ comme cycle limite attracteur. L'astuce consiste à penser en termes de coordonnées polaires $(r,\theta)$. La situation la plus simple serait d'avoir des équations non couplées pour les mouvements radiaux et angulaires : $$ \begincases \dotr=f(r)\ \dot\theta=g(\theta). \endcases $$ Dans la direction $r$, nous voulons que $f(1)=0$, c'est-à-dire (…)

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Théorème de Lyapunov

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:49Z

- Théorèmes et exemples

Théorème de Hartman-Grobman

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:48Z

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Théorème de Poincaré-Bendixson

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:47Z

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Théorème de bifurcation d'Andronov-Hopf

Generative eBooks — 2022-06-26T13:14:45Z

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