Generative eBooks

El ejemplo más sencillo

Generative eBooks — 2023-12-05T14:36:13Z

La ecuación diferencial más simple es $$\dotx=ax$$ donde $x\in\mathbbR$ y $a$ es un parámetro de valor real. A pesar de su simplicidad, esta ecuación nos permite introducir varios conceptos importantes para el resto de este ebook. Podemos interpretarla como un modelo ingenuo para el crecimiento de poblaciones bacterianas.
Bacterias. Consideremos un recipiente lleno de una solución nutritiva y bacterias. A medida que pasa el tiempo, las bacterias se reproducen (por división) y mueren. Sea (…)

- Un primer recorrido por los ejemplos

Atractor caótico en un «ecosistema» con dos especies competidoras devoradas por una tercera

Generative eBooks — 2023-12-05T13:41:41Z

Volvamos a la ecología para plantear un fenómeno sorprendente: el caos determinista. Más adelante veremos otros ejemplos. Nuestro objetivo no es analizar a fondo este fenómeno aquí, sino mostrar lo complejo que puede ser el comportamiento de un modelo de apariencia inocente.
Modelizamos la interacción entre un depredador y dos poblaciones de presas que compiten entre sí de la forma más sencilla. Consideremos primero las dos poblaciones de presas en ausencia del depredador. Si $x$ e $y$ (…)

- Un primer recorrido por los ejemplos

Lo que hemos aprendido hasta ahora

Generative eBooks — 2023-12-05T13:41:30Z

Resumimos los puntos más destacados de este capítulo.

We first considered some examples of one-dimensional differential equations, that is equations of the form $\dotx=f(x)$, where $x\in\mathbbR$ and $f :\mathbbR\to\mathbbR$. We expect that a wealth of informations about the behavior of solutions to be easily obtainable from a simple graphical study, namely by plotting $\dotx$ versus $x$, without actually solving the equation. What was left is the question of existence and uniqueness of (...)

- Un primer recorrido por los ejemplos

Atractor periódico de Van der Pol

Generative eBooks — 2023-12-05T13:39:57Z

La ecuación de Van der Pol se diseñó como modelo para un oscilador electrónico en la década de 1920. No vamos a entrar en la derivación de este modelo. En cualquier caso, se trata de una descripción matemática de una tecnología obsoleta basada en tubos de radio, los predecesores de nuestros transistores actuales. La ecuación es $$ \ddotu+\epsilon(1-u^2)\dotu+u=0 $$ donde $u$ representa la tensión.

- Un primer recorrido por los ejemplos

Una nueva mirada al péndulo

Generative eBooks — 2023-12-05T13:38:54Z

Consideremos el movimiento del siguiente péndulo idealizado: una masa $m$ está unida a un extremo de una varilla rígida sin masa. El otro extremo de la varilla pivota para que la masa pueda oscilar en un plano vertical. Despreciamos tanto la fricción del pivote como la resistencia del aire.
La oscilación del péndulo se rige por $$ \ddot\theta=-\fracgL \sin \theta $$ donde $\theta$ es el ángulo entre la varilla y la vertical descendente. Esta ecuación se deriva en todos los libros de texto (…)

- Un primer recorrido por los ejemplos

El oscilador armónico

Generative eBooks — 2023-12-05T13:37:29Z

Veamos un ejemplo elemental procedente de la mecánica clásica.
El oscilador armónico es el ejemplo más sencillo de una partícula de masa $m$ constreñida a una línea recta, que tomamos como eje $x$, sometida a una fuerza $f(x)$ cuando se encuentra en $x$. Suponer que esta fuerza es independiente de la velocidad $\dotx$ equivale a excluir el rozamiento. Según la segunda ley de Newton, tenemos $$ m \ddotx=f(x). $$ En el caso del oscilador armónico, $f(x)=-kx$, donde $k=\textconst.>0$. El (…)

- Un primer recorrido por los ejemplos

Tiburones y sardinas

Generative eBooks — 2023-12-05T13:36:42Z

El modelo que vamos a estudiar sirve como introducción al análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales en el plano. Introduciremos el concepto de retrato de fase.
El modelo
El matemático Vito Volterra propuso en la década de 1920 un modelo que describía la interacción entre tiburones y sardinas después de que el biólogo marino D'Anconna se pusiera en contacto con él para conocer algunos datos reales de pesca en el Mar Adriático.
Sea $x(t)$ el número de sardinas en función del (…)

- Un primer recorrido por los ejemplos

La ecuación logística

Generative eBooks — 2023-12-05T13:34:26Z

A corto plazo, la ecuación $\dotx=ax$ con $a>0$ tiene sentido para describir nuestra población de bacterias. En efecto, podemos imaginar que, durante un breve intervalo de tiempo, las bacterias no se aglomeran y el tamaño de la población es $e^atx_0$ si hay $x_0$ bacterias en el momento $0$. Pero, a medida que pasa el tiempo, ese crecimiento exponencial implicaría que el número de bacterias es excesivamente grande (¡mayor que el número de átomos del universo, si lo tomamos al pie de la (…)

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