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Bifurcaciones: un primer vistazo

Generative eBooks — 2023-12-05T16:28:56Z

Acabamos de ver que las soluciones de los sistemas unidimensionales se comportan de forma bastante trivial. Pero la dependencia de los parámetros añade picante porque pueden producirse cambios cualitativos en el comportamiento de las soluciones. Estos cambios se llaman bifurcaciones.
El objetivo de este capítulo es presentar algunos ejemplos y no desarrollar la teoría completa. Exploraremos otros tipos de bifurcaciones cuando pasemos a sistemas bidimensionales y tridimensionales.
El (…)

- Parte I: Sistemas unidimensionales: flujos en la línea

Interludio: Imposibilidad de oscilaciones periódicas

Generative eBooks — 2023-12-05T16:21:52Z

La restricción de moverse sobre la recta real obliga a las soluciones a aumentar o disminuir monotónicamente, o a permanecer constantes (punto fijo). Más concretamente, las soluciones no constantes se aproximan a un punto fijo o divergen hacia $\pm\infty$ monotónicamente. Para decirlo de forma más geométrica, una partícula que fluye sobre la recta real según $\dotx=f(x)$ nunca invierte su dirección. Por lo tanto, no hay soluciones periódicas para tales ecuaciones. Probemos analíticamente la (…)

- Parte I: Sistemas unidimensionales: flujos en la línea

Puntos fijos y su estabilidad

Generative eBooks — 2023-12-05T16:18:10Z

Para una ecuación $\dotx=f(x)$, recordemos que un punto fijo $\barx$ es un punto tal que $f(\barx)=0$; corresponde a una solución constante o estacionaria $x(t)=\barx$ que está obviamente definida para todo $t\in\mathbbR$.
Consideremos de nuevo la ecuación logística $\dotx=bx-dx^2$ para $x\geq 0$; tiene dos puntos fijos, a saber $0$ y $b/d$. Intuitivamente, $0$ es un punto fijo inestable ya que ‘repele' soluciones que parten de algún $x_0\in (0,b/d)$, mientras que $b/d$ es un punto fijo (…)

- Parte I: Sistemas unidimensionales: flujos en la línea

Existencia, unicidad y vida útil de las soluciones

Generative eBooks — 2023-12-05T16:08:59Z

Si nos dan un sistema $\dotx=f(x)$ y un estado inicial $x_0$, ¿existe una solución $x(t)$ a esta ecuación tal que $x(0)=x_0$? Resulta que si $f$ es una función continua, entonces la existencia está garantizada. El ejemplo $$ f(x)= \begincases 1 & \textif\quad x< 0\ 1 & \textif\quad x\geq 0 \endcases $$ muestra que cuando $f$ es discontinuo, las cosas pueden ir mal: no hay solución que satisfaga $x(0)=0$.
La siguiente pregunta natural es sobre la unicidad. ¿Qué puede fallar? Un (…)

- Parte I: Sistemas unidimensionales: flujos en la línea

Preludio: estudio gráfico de ecuaciones diferenciales unidimensionales

Generative eBooks — 2023-12-05T16:05:28Z

El estudio gráfico de la ecuación logística que hicimos en el capítulo anterior allana el camino para el caso general. Pues si $\dotx=f(x)$, se representa $\dotx$ frente a $x$, es decir, la gráfica de $f$. Los puntos de intersección con el eje $x$ son puntos fijos. Entre dos puntos fijos, la gráfica está por encima o por debajo del eje $x$: en el primer caso $\dotx>0$, lo que significa que $x(t)$ aumenta y puede representarse dibujando flechas en el eje $x$ que apunten a la derecha; en el (…)

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