Generative eBooks

Interludio: no hay caos en los sistemas bidimensionales

Generative eBooks — 2023-12-06T14:18:53Z

Una pregunta natural es si podemos clasificar todos los tipos posibles de comportamientos a largo plazo de las soluciones de sistemas bidimensionales. Hemos visto dos tipos de comportamientos: como $t\to+\infty$, soluciones que tienden a un punto fijo, o soluciones que envuelven una trayectoria cerrada (ciclo límite). ¿Existen otros tipos de comportamientos? Consideramos un sistema bidimensional $$ \begincases \dotx=f(x,y)\ \doty=g(x,y) \endcases $$ donde $f$ y $g$ son funciones (…)

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Estabilidad de los puntos fijos y método de Lyapunov

Generative eBooks — 2023-12-06T09:35:54Z

Investigamos las propiedades de estabilidad e inestabilidad de los puntos fijos. En otras palabras, ¿qué ocurre si perturbamos un sistema que se encuentra en un punto fijo? Como el lector puede adivinar, debemos utilizar la aproximación lineal del sistema, pero sólo esperamos poder tratar con ‘pequeñas' perturbaciones. Por eso presentaremos otra técnica algo más geométrica: el método de Lyapunov. Además, este método nos permite conocer el tamaño de la cuenca de atracción del punto fijo (…)

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Un montón de ejemplos con ciclos límite

Generative eBooks — 2023-12-06T09:10:49Z

Presentamos varios ejemplos en los que aparecen ciclos límite atrayentes.
Presas y depredadores cíclicos: el modelo Rosenzweig-McArthur
Volvemos a las presas y los depredadores. Anteriormente estudiamos un modelo básico para la interacción entre tiburones y sardinas, a saber $$ \begincases \dotx= x(1-x) - xy\ \doty=\beta y ( x-\alpha) \endcases $$
donde $x$ representa la densidad de sardinas, $y$ la densidad de tiburones, y $\alpha,\beta$ son parámetros positivos. Observamos y (…)

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Bifurcaciones

Generative eBooks — 2023-12-06T09:01:16Z

Aquí ampliamos lo que hemos visto sobre las bifurcaciones en sistemas unidimensionales. En dimensión dos, seguimos viendo que los puntos fijos pueden crearse o destruirse o desestabilizarse a medida que variamos un parámetro. Pero hay una novedad: las soluciones periódicas son posibles, y hay formas de activarlas o desactivarlas afinando un parámetro. Es la llamada bifurcación de Poincaré-Andronov-Hopf. Subrayemos que acabamos de abrir la puerta de un amplio campo sobre el que se han escrito (…)

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Oscilaciones periódicas y ciclos límite

Generative eBooks — 2023-12-06T08:45:43Z

Hasta ahora hemos estudiado lo más sencillo que puede hacer una solución de una ecuación diferencial: ser atraída o repelida por un punto fijo. Lo siguiente más sencillo que puede hacer es comportarse periódicamente en el tiempo, es decir, trazar una curva cerrada, llamada ciclo. Ya hemos visto ejemplos de soluciones periódicas en la primera parte de este ebook. En particular, hemos visto un ejemplo de ciclo límite estable o atrayente. Corresponde a oscilaciones autosostenidas que son (…)

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Interludio: para el placer de los ojos

Generative eBooks — 2023-12-06T08:36:14Z

Todos los modelos que hemos presentado hasta ahora están motivados por la física o la biología. Aquí puedes recorrer una galería de retratos de fase de sistemas bidimensionales que nos parecen bellos, sin preocuparte por lo que potencialmente podrían modelar.

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Tres ejemplos de Biología

Generative eBooks — 2023-12-06T08:29:54Z

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Linealización: qué ocurre cerca de los puntos fijos

Generative eBooks — 2023-12-06T08:23:32Z

En este capítulo desarrollamos una idea natural: deberíamos ser capaces de aproximar el retrato de fase cerca de un punto fijo por el de un sistema lineal correspondiente. Veremos qué significa esto y cuándo es posible.
Sistema linealizado
Considere el sistema $$ \begincases \dotx=f(x,y)\ \doty=g(x,y) \endcases $$ y supongamos que $(\bar x,\bar y)$ es un punto fijo, es decir, $$ f(\bar x,\bar y)=0,\thinspace g(\bar x,\bar y)=0. $$ Sea $$ u=x-\bar x, \thinspace v=y-\bar y $$ denotan (…)

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Sistemas lineales

Generative eBooks — 2023-12-05T16:48:48Z

Anteriormente dijimos que la mayoría de las ecuaciones diferenciales no pueden resolverse explícitamente. Esto no es del todo cierto: las ecuaciones diferenciales lineales pueden analizarse a fondo. La mayoría de los modelos en física, biología, etc. son ecuaciones diferenciales no lineales, pero las lineales desempeñan un papel importante en la clasificación de sus puntos fijos, como veremos más adelante.
Definición
Un sistema lineal bidimensional es un sistema de la forma $$ (…)

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Retratos de fase

Generative eBooks — 2023-12-05T16:40:48Z

El retrato de fase de una ecuación dada $\dot\boldsymbolx=\boldsymbolf(\boldsymbolx)$ es un gráfico de trayectorias típicas en el plano $xy$. Para la mayoría de los ejemplos interesantes que surgen en las aplicaciones, no hay esperanza de encontrar las trayectorias analíticamente. E incluso cuando se dispone de fórmulas explícitas (lo que ocurre muy raramente), a menudo son dos complicadas para proporcionar mucha información. En su lugar, intentaremos determinar el comportamiento cualitativo (…)

- Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano