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De la cuasiperiodicidad al caos

Generative eBooks — 2023-12-06T15:29:53Z

Aparte de los puntos fijos, las trayectorias cerradas y los atractores extraños, existe un cuarto tipo importante de atractor, a saber, un toro (generalización de un círculo) en el que las soluciones pueden envolverse densamente. Este fenómeno se denomina cuasiperiodicidad. Empezaremos con el ejemplo más sencillo de cuasiperiodicidad antes de estudiar el péndulo doble plano que presenta periodicidad, cuasiperiodicidad y caos.
Un ejemplo de juguete: un par de osciladores armónicos no (…)

- Parte III: Más allá de los flujos en el plano: cuasiperiodicidad y caos

Otros cuatro atractores extraños

Generative eBooks — 2023-12-06T15:29:16Z

En esta sección se pueden observar los atractores que surgen en distintos ámbitos. Nuestro objetivo es mostrar atractores caóticos extraños con diferentes formas que surgen en diversos contextos.
Una caótica cadena alimentaria de tres especies
In 1991, Hastings and Powell proposed the following model of a three-level food chain: $$ \begincases \dotx=x\,(1-x)-f_1(x)\,y\ \doty=f_1(x)\,y - f_2(y)\,z-d_1 y\ \dotz = f_2(y)\,z-d_2 z \endcases $$ con $$ f_1(x)=\fraca_1 x 1+b_1 (…)

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El atractor de Rössler

Generative eBooks — 2023-12-06T15:28:42Z

En 1976, Rössler construyó el siguiente sistema tridimensional $$ \begincases \dotx=-y-z\ \doty=x+a y\ \dotz = b+z(x-c) \endcases $$
donde $a,b$, y $c$ son parámetros. Rössler buscaba un sistema que se comportara como el sistema de Lorenz, pero más fácil de analizar. Obsérvese que el único término no lineal aparece en la ecuación $\dotz$ y es cuadrático. Obsérvese también que, si $z=0$, obtenemos un sistema lineal en el plano $xy$. Como los parámetros varían, este sistema simple puede (…)

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El atractor de Lorenz

Generative eBooks — 2023-12-06T15:28:10Z

Introducción
We study three-dimensional systems of the form $$ \begincases \dotx=f(x,y,z)\ \doty=g(x,y,z)\ \dotz=h(x,y,z) \endcases $$ donde $f,g,h:\mathbbR^3\to\mathbbR$ son funciones continuamente diferenciables. Dada una condición inicial $(x_0,y_0,z_0)$, existe una solución única $(x(t),y(t),z(t))$ que pasa por $(x_0,y_0,z_0)$ en el tiempo $t=0$. Al igual que los sistemas bidimensionales, los sistemas tridimensionales pueden tener puntos fijos que pueden estudiarse localmente por (…)

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