Generative eBooks

El modelo Rosenzweig-McArthur

Generative eBooks — 2023-12-06T15:36:02Z

We come back to preys and predators. We previously studied a basic model for the interaction of sharks and sardines, namely $$ \begincases \dotx= x(1-x) - xy\ \doty=\beta y ( x-\alpha) \endcases $$ where $x$ represents the density of sardines, $y$ the density of sharks, and $\alpha,\beta$ are positive parameters. We observed and proved that there cannot be limit cycles in this model, which means that the populations of sharks and sardines cannot oscillate periodically in a robust way.
A (…)

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El péndulo idealizado

Generative eBooks — 2023-12-06T15:35:38Z

Consider the motion of the following idealized pendulum: a bob of mass $m$ is attached to one end of a massless rigid rod. The other end of the rod is pivoted so that the mass may swing in a vertical plane. We neglect both the friction of the pivot and air drag.
The swinging of the pendulum is governed by $$ \ddot\theta=-\fracgL \sin \theta $$ where $\theta$ is the angle between the rod and the downward vertical. This equation is derived in all textbooks of classical mechanics.
Phase (…)

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Teorema de Poincaré-Bendixson

Generative eBooks — 2023-12-06T15:35:14Z

Consider a system
$$ \begincases \dotx=f(x,y)\\ \doty=g(x,y) \endcases $$
where $f$ and $g$ have continuous partial derivatives, and such that solutions exist for all $t$. Let $R$ denote a closed, bounded region of the $xy$-plane which contains no fixed points. Suppose that no solution may leave $R$. Then the system has a periodic solution in the region $R$.

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Teorema de Lyapunov

Generative eBooks — 2023-12-06T15:34:44Z

Suppose that we can find a continuously differentiable, real-valued function $L(\boldsymbolx)$ such that $L(\boldsymbolx)>L(\bar\boldsymbolx)$ for all $\boldsymbolx$ in some neighborhood $U$ of $\bar\boldsymbolx$.
If $\dotL(\boldsymbolx)\leq 0$ for all $\boldsymbolx\in U$, then $\bar\boldsymbolx$ is stable.
If $\dotL(\boldsymbolx)< 0$ for all $\boldsymbolx\in U\backslash\\bar\boldsymbolx\$, then $\bar\boldsymbolx$ is asymptotically stable.
If $\dotL(\boldsymbolx)> 0\thinspace \textfor (…)

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Teorema de Hartman-Grobman

Generative eBooks — 2023-12-06T15:34:06Z

Suppose $(\bar x,\bar y)$ is a fixed point of a system
$$ \begincases \dotx = f(x,y)\\ \doty= g(x,y). \endcases $$ Assume that the real part of the eigenvalues of the Jacobian matrix
$$ A= \beginpmatrix \frac\partial f\partial x\scriptstyle(\bar x,\bar y) & \frac\partial f\partial y\scriptstyle(\bar x,\bar y)\\ \frac\partial g\partial x\scriptstyle(\bar x,\bar y) & \frac\partial g\partial x\scriptstyle(\bar x,\bar y) \endpmatrix $$ are nonzero. Then there is a small region around (…)

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Construir un ciclo límite desde cero

Generative eBooks — 2023-12-06T15:33:27Z

We want to cook up a simple example of a limit cycle, some kind of toy model. Let us look for a system having the circle of radius one centered at $(0,0)$ as an attracting limit cycle. The trick is to think in terms of polar coordinates $(r,\theta)$. The simplest situation would be to have uncoupled equations for the radial and angular motions: $$ \begincases \dotr=f(r)\ \dot\theta=g(\theta). \endcases $$ In the $r$-direction, we want $f(1)=0$, that is $r=1$ to be a fixed point. We also want (…)

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Teorema de bifurcación de Andronov-Hopf

Generative eBooks — 2023-12-06T15:32:40Z

Assume that, near $\mu=\mu^*$, the Jacobian matrix of the vector field evaluated at $(\barx(\mu),\bary(\mu))$ has eigenvalues of the form
$$ a(\mu)\pm i b(\mu) $$
with
$$ a(\mu^*)=0\quad\textand\quad b(\mu^*)\neq 0. $$
Also assume that the real parts of the eigenvalues change signs as $\mu$ is varied through $\mu^*$, i.e.,
$$ \frac\textda\textd\mu(\mu^*)\neq 0. $$
Given these hypotheses, the following possibilities arise: There is a range $\mu^*<\mu<\mu_1$ such (…)

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Conjuntos Julia

Generative eBooks — 2023-12-06T15:31:39Z

Terminamos con la dinámica compleja, un fascinante campo de las matemáticas, ampliamente conocido por el famoso conjunto de Mandelbrot. Consideraremos el ejemplo más sencillo. Consideremos el mapa cuadrático $f_c(z)=z^2+c$. Definamos
$$ z_n+1=f_c(z_n)=z_n^2+c $$
donde $z_n$ y $c$ son números complejos. Dada una condición inicial $z_0$, podemos calcular su imagen $z_1=f_c(z_0)$, a continuación la imagen de su imagen, es decir $z_2=f_c(z_1)=f_c^2(z_0)$, y así sucesivamente. Aquí $f_c^2$ (…)

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Los patrones de Turing

Generative eBooks — 2023-12-06T15:31:05Z

Es obvio que muchos fenómenos naturales no quedan recogidos por las ecuaciones diferenciales porque se producen cambios tanto en el tiempo como en el espacio. Matemáticamente, esto significa que tenemos que considerar ecuaciones diferenciales parciales. En las llamadas ecuaciones de reacción-difusión, hay reacciones locales en las que las sustancias se transforman unas en otras y pueden degradarse, y difusión, que hace que las sustancias se dispersen en el espacio. Tales ecuaciones muestran (…)

- ¿Y ahora qué?

Un modelo presa-predador en tiempo discreto

Generative eBooks — 2023-12-06T15:30:38Z

En los modelos de población que hemos visto, los modelos de ecuaciones diferenciales implican un solapamiento continuo de las generaciones. Pero muchas especies no tienen solapamiento alguno entre generaciones sucesivas, por lo que el crecimiento de la población se produce en pasos discretos. Obtenemos ecuaciones en diferencias definidas por un mapeo. Como hemos visto, se necesitan al menos tres variables (es decir, un espacio de fases tridimensional) para obtener un caos determinista con (…)

- ¿Y ahora qué?