Le modèle de Lotka-Volterra

Le modèle que nous avons écrit plus haut peut se réécrire, après un
changement approprié d’unités, sous la forme suivant :

$$ \begin{cases} \dot{x} =\frac{d x}{dt}= x(1-y)\\ \dot{y} =\frac{d y}{dt}= y(-\lambda+x) \end{cases} $$

où il ne reste donc plus qu’un seul paramètre positif.

Le lecteur peut expérimenter numériquement le modèle en manipulant l’expérience numérique interactive ci-dessous.

Une fois le widget ouvert, il sélectionnera, en cliquant (ou avec un doigt sur tablette tactile), une population initiale $$$(x_0,y_0)$
de proies et de prédateurs et produira la solution $(x(t),y(t))$</math qui correspond à cette condition initiale.

Il constatera que chaque solution parcourt une trajectoire fermée et que toutes les trajectoires sont concentriques.

Une petite réflexion montre qu’une trajectoire fermée correspond au fait que les fonctions $$$x(t)$ et $y(t)$ sont périodiques.

Elles tournent autour d’un point particulier qui correspond à l’équilibre des populations : lorsque la population
de proies a pour taille $\lambda$ et celle des prédateurs a pour taille 1, rien ne change au cours du temps ($\dot{x}=0,\ \dot{y}=0$).

Un pas de plus (pour les curieux)

$$
Le mérite du modèle de Lotka-Volterra est qu’il est le plus simple qu’on puisse imaginer. Il présente forcément un certain nombre de défaut. Le plus évident est le suivant : en l’absence de prédateurs ($y=0$), les équations
se réduisent à une seule équation : $\dot{x}=x$, qui se résout facilement : $x(t)=x(0)\, e^t$, c-à-d que la population des proies « explose » exponentiellement vite avec le temps.

Un tel comportement est sans doute correct durant un très court laps de temps. Mais la limitation des ressources fait que la population ne peut pas dépasser un certain seuil, appelé « capacité de charge » par les écologues.

La façon la plus simple pour modéliser cet effet est de poser :

$\dot{x}=x(1-x)$

Il n’est pas difficile de se convaincre que les solutions sont de la forme montrée sur la figure. Si la population initiale est plus petite que la capacité de charge (qui vaut ici 1), elle commence par croître exponentiellement avant de subir un infléchissement et de tendre vers 1.
Si la population initiale est au dessus de la capacité de charge, elle tend exponentiellement vite vers 1.

Si nous revenons au modèle de Lotka-Volterra et si nous le modifions pour tenir compte de cette compétition entre proies, on obtient, après un changement d’unités approprié, le modèle suivant :

$$ \begin{cases} \dot{x} &=& x(1-x-y)\\ \dot{y} &=& \beta y(x-\alpha) \end{cases} $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont des paramètres positifs.

Le lecteur peut expérimenter numériquement le modèle en manipulant l’expérience numérique interactive ci-dessous.

Il pourra constater que les solutions ont un comportement
totalement différent de celles du modèle initial. En effet,
l’équilibre $(\alpha,1-\alpha)$ « attire » toutes les solutions issues de
populations initiales de proies et de prédateurs d’effectif
positif.

Pour déplacer l’équilibre, faire glisser la souris (ou le doigt sur tablette tactile) sous l’axe
des $x$ vers la gauche.