Las ecuaciones diferenciales son, sin duda, una de las ramas más importantes y fructíferas de las matemáticas. El análisis moderno comenzó con ellas a mediados del siglo XVI, y desde entonces han sido clave para el desarrollo de la industria. Encontraron aplicaciones en todas las ciencias naturales, y también en las humanas; además, estuvieron asociados al desarrollo de otros campos de las matemáticas como el análisis de Fourier, la topología diferencial o el análisis funcional.
Aun así, para el principiante la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales plantea grandes retos conceptuales; no es de extrañar que hasta finales del siglo XIX no empezara a desarrollarse sistemáticamente. Y a lo largo de los años, enseñando la asignatura una y otra vez en todo el mundo, a menudo me ha resultado muy difícil iniciar a los alumnos en el espíritu de esta teoría. Piensan que resolver ecuaciones diferenciales consiste en calcular y averiguar fórmulas; descubren que no nos importan las fórmulas, sino que queremos que dibujen un retrato de fase, un esbozo cualitativo del flujo, flechitas y curvas ondulantes. En realidad, ¡estas nociones pueden resultar fatales!
No es de extrañar, pues, que las ecuaciones diferenciales planteen un reto pedagógico. Entre cientos de libros de texto, sólo unos pocos han resistido la prueba del tiempo, entre los que destaca el célebre curso de Arnold, verdadero heredero de la tradición de Poincaré. Sus explicaciones informales, ejemplos bien elegidos, esquemas y dibujos rinden tributo al legendario sentido pedagógico del autor. Muchos cursos sobre ecuaciones diferenciales, incluido el mío propio, son paráfrasis del de Arnold. Por supuesto, década tras década la calidad de las ilustraciones ha mejorado, y también se ha animado a los estudiantes a escribir su propio código y recrear por sí mismos las propiedades de las ecuaciones diferenciales, de modo que el experimento del libro se enriquece con actividades complementarias y lucha personal.
Pero este libro es de otra naturaleza: verdaderamente un libro, con todo el trabajo realizado por los autores para facilitar su lectura; pero también verdaderamente interactivo. Gracias a más de 60 experimentos incrustados en el texto, la magia de las ecuaciones diferenciales cobra vida de una forma ágil y sin esfuerzo. Cada concepto está ilustrado y permite jugar con él ajustando los parámetros. Especialmente en la versión para tableta, se convierte realmente en un juego de niños. Quieres ver el péndulo en acción: basta con golpearlo suavemente para que oscile en un sentido u otro. Quieres ver la diferencia cualitativa entre la fricción fuerte y la fricción débil: basta con arrastrar el botón para cambiar el valor y volver a calcular las trayectorias. Qué tal ver la convergencia sistemática hacia el atractor de Van der Pol: basta con tocar una y otra vez directamente en el espacio de fases de la ecuación de Van der Pol, y verá cómo las innumerables trayectorias dibujan el ciclo fatídico. Y para hacerse una idea de la sensibilidad a las condiciones iniciales, qué mejor que contemplar el baile de dos puntos en el espacio de fases de la ecuación de Lorenz, inicialmente tan próximos que apenas se distinguen, pero que pronto juegan al escondite entre los pasillos del atractor laberíntico.
En resumen, jugar y admirar la belleza: estas dos nociones son tan orgullosamente pregonadas por Chazottes y Monticelli, que a veces no dudan en presentar experimentos de forma impresionista, ¡e incluso en presentar bellos retratos de fase sólo por su belleza!
Aparte de la magia de los experimentos visuales digitales, los autores han optado por un plan muy pedagógico, empezando por una galería de ejemplos, para pasar después a las ecuaciones en dimensión uno, luego dos, luego tres y más arriba. Por el camino, se destacan los razonamientos cualitativos, aplazando las fórmulas más técnicas a notas especiales que pueden ir apareciendo; y los conceptos más avanzados, como la bifurcación, se tocan varias veces en diversos ejemplos, antes de enunciar los teoremas generales. Algunos de los desarrollos modernos más famosos del campo, que datan de los años setenta u ochenta, se incorporan al resto; y se esbozan algunas direcciones de futuros desarrollos, como las ecuaciones diferenciales parciales y la inestabilidad de Turing, o la teoría de los fractales. Los lectores curiosos tendrán mucho más en lo que sumergirse.
Repasando todas estas joyas, golpeando y acariciando la tableta digital mientras probaba este ebook, sentí cierta envidia por los estudiantes que disfrutarían de esta experiencia y verían cómo las ecuaciones diferenciales cobraban vida; un poco como sentía envidia por mis hijos cuando descubrían la geometría clásica con GeoGebra. De hecho, este es exactamente el mismo tipo de experiencia que te ofrecen Chazottes y Monticelli: ninguna receta mágica que te convierta en un experto, sino una forma de sentir y captar los conceptos de una manera maravillosamente interactiva, flexible y lúdica.
Cédric Villani
Profesor de la Universidad de Lyon Claude Bernard
Director del Instituto Henri Poincaré (CNRS/UPMC)
Miembro de la Academia Francesa de Ciencias
Medalla Fields 2010