Es obvio que muchos fenómenos naturales no quedan recogidos por las ecuaciones diferenciales porque se producen cambios tanto en el tiempo como en el espacio. Matemáticamente, esto significa que tenemos que considerar ecuaciones diferenciales parciales. En las llamadas ecuaciones de reacción-difusión, hay reacciones locales en las que las sustancias se transforman unas en otras y pueden degradarse, y difusión, que hace que las sustancias se dispersen en el espacio. Tales ecuaciones muestran una amplia gama de comportamientos, como ondas viajeras, propagación frontal (invasión biológica), patrones autoorganizados (manchas y rayas en la piel de los animales, patrón vegetal en regiones áridas, etc.), etc.
En 1952, Alan Turing fue el primero en proponer un sencillo modelo de reacción-difusión para explicar el desarrollo de manchas como las que aparecen en el pelaje de ciertos animales. El modelo general que propuso describe la interacción entre dos sustancias químicas que denominó "morfógenos" y que se difunden a velocidades diferentes. Una sirve de activador para expresar una característica única, como la mancha del leopardo, y la otra actúa como inhibidor, que puede suprimir la expresión del activador. El modelo es de la forma
$$ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=f(u,v)+ A \nabla^2 u \\ \frac{\partial v}{\partial t}=g(u,v)+ B \nabla^2 v \end{cases} $$
donde $u=u(x,y,t)$ es la concentración del activador, $v=v(x,y,t)$ la del inhibidor. Las funciones $f,g$ describen las reacciones locales. No es importante conocer aquí sus expresiones explícitas. Los términos $\nabla^2 u, \nabla^2 u$ describen la difusión de los morfógenos. El parámetro equation_4.pdf es el coeficiente de difusión del activador, $B$ el del inhibidor.En el experimento digital, puede producir una variedad de texturas de aspecto natural mediante el ajuste de los parámetros $A$ y $B$, haciendo así, por ejemplo, que el activador difunda más rápidamente que el inhibidor. Lo que se visualiza es la concentración del activador.