Il est évident que de nombreux phénomènes naturels ne sont pas capturés par les équations différentielles car il y a des changements à la fois dans le temps et dans l’espace. Mathématiquement, cela signifie que nous devons considérer des équations différentielles partielles. Dans les équations dites de réaction-diffusion, il y a des réactions locales dans lesquelles les substances se transforment les unes dans les autres et peuvent être dégradées, et la diffusion qui fait que les substances se répandent dans l’espace. Ces équations présentent un large éventail de comportements, tels que les ondes progressives, la propagation frontale (invasion biologique), les motifs auto-organisés (taches et rayures sur la peau des animaux, motif végétal dans les régions arides, etc.
En 1952, Alan Turing a été le premier à proposer un modèle simple de réaction-diffusion pour rendre compte du développement de taches comme celles qui apparaissent sur le pelage de certains animaux. Le modèle général qu’il propose décrit l’interaction entre deux substances chimiques qu’il appelle "morphogènes" et qui se diffusent à des vitesses différentes. L’une sert d’activateur pour exprimer une caractéristique unique, comme la tache du léopard, et l’autre agit comme un inhibiteur, qui peut supprimer l’expression de l’activateur. Le modèle est de la forme
$$ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=f(u,v)+ A \nabla^2 u \\ \frac{\partial v}{\partial t}=g(u,v)+ B \nabla^2 v \end{cases} $$
où $u=u(x,y,t)$ est la concentration de l’activateur, $v=v(x,y,t)$ celle de l’inhibiteur. Les fonctions $f,g$ décrivent les réactions locales. Il n’est pas important de connaître ici leurs expressions explicites. Les termes $\nabla^2 u, \nabla^2 u$ décrivent la diffusion des morphogènes. Le paramètre equation_4.pdf est le coefficient de diffusion de l’activateur, $B$ celui de l’inhibiteur.
Dans l’expérience numérique, vous pouvez produire une variété de textures d’aspect naturel en réglant les paramètres $A$ et $B$, ce qui fait par exemple que l’activateur diffuse plus rapidement que l’inhibiteur. Ce que vous visualisez est la concentration de l’activateur.