Nous terminons par la dynamique complexe, un domaine fascinant des mathématiques, largement connu à cause du célèbre ensemble de Mandelbrot. Nous considérons l’exemple le plus simple. Considérons la carte quadratique $f_c(z)=z^2+c$. Définissez alors
$$ z_{n+1}=f_c(z_n)=z_n^2+c $$
où $z_n$ et $c$ sont des nombres complexes. Étant donné une condition initiale $z_0$, nous pouvons calculer son image $z_1=f_c(z_0)$, puis l’image de son image, à savoir $z_2=f_c(z_1)=f_c^2(z_0)$, et ainsi de suite. Ici $f_c^2$ signifie $f_c$ composé avec lui-même, c’est-à-dire $f_c^2=f_c\circ f_c$ , et plus généralement $f_c^n(z_0)$ est la $n$ième itération de $z_0$. La suite infinie $(z_0,z_1,\ldots)$ est appelée la trajectoire de $z_0$.
L’ensemble de Julia associé à un polynôme quadratique $f_c$ est, de manière informelle, l’ensemble des conditions initiales $z_0$ dont les trajectoires ne tendent pas vers l’infini. Selon la valeur de $c$, on obtient différents ensembles de Julia, dont la beauté est difficile à nier.