Dans les modèles de population que nous avons vus, les modèles d’équation différentielle impliquent un chevauchement continu des générations. Mais de nombreuses espèces n’ont pas le moindre chevauchement entre les générations successives et la croissance de la population se fait donc par paliers discrets. Nous obtenons des équations différentielles définies par un mappage. Comme nous l’avons vu, il faut au moins trois variables (c’est-à-dire un espace de phase tridimensionnel) pour obtenir un chaos déterministe avec des équations différentielles. De façon remarquable, en temps discret, le chaos peut apparaître avec une seule variable évoluant selon une simple cartographie quadratique ! Ici, nous présentons un modèle proie-prédateur donné par la cartographie
$$ \begin{cases} x_{t+1}=r x_t \,(1-x_t -\alpha y_t)\\\ y_{t+1}=y_t\,(\beta x_t -d) \end{cases} $$
où $t=0,1,2,\ldots$ et $r,\alpha,\beta,d$ sont des paramètres positifs. Dans l’expérience numérique, un ensemble de conditions initiales $(x_0,y_0)$ sont lancées. Pour les paramètres par défaut, on observe un attracteur étrange.