Aparte de los puntos fijos, las trayectorias cerradas y los atractores extraños, existe un cuarto tipo importante de atractor, a saber, un toro (generalización de un círculo) en el que las soluciones pueden envolverse densamente. Este fenómeno se denomina cuasiperiodicidad. Empezaremos con el ejemplo más sencillo de cuasiperiodicidad antes de estudiar el péndulo doble plano que presenta periodicidad, cuasiperiodicidad y caos.
Un ejemplo de juguete: un par de osciladores armónicos no amortiguados
Al principio de este ebook, consideramos un oscilador armónico no amortiguado. Consideremos ahora un par de osciladores armónicos no amortiguados:
$$ \begin{cases} \ddot{x}_1= -\omega_1^2 x_1\\ \ddot{x}_2= -\omega_2^2 x_2 \end{cases} $$
donde $\omega_1,\omega_2$ son parámetros (frecuencias). Aunque estos osciladores estén desacoplados, vamos a ver que, sin embargo, se trata de un sistema interesante que muestra un fenómeno que no habíamos conocido hasta ahora: la cuasiperiodicidad.
Como hemos hecho para un oscilador simple, establecemos
$$ y_1=\dot{x}_1\quad\text{and}\quad y_2=\dot{x}_2 $$
para transformar el sistema bidimensional de segundo orden anterior en el sistema lineal cuatridimensional de primer orden
$$ \dot{\boldsymbol{x}}=A \boldsymbol{x} $$
donde $\boldsymbol{x}=(x_1,y_1,x_2,y_2)$ y
$$ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\omega_1^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -\omega_2^2 & 0 \end{pmatrix}. $$
Estas ecuaciones pueden resolverse fácilmente y obtenemos (esto no es ninguna sorpresa) soluciones periódicas que son combinaciones lineales de funciones seno y coseno. Tenemos, para $j=1,2$,
$$ \begin{cases} x_j(t)=x_j(0) \cos(\omega_j t)+y_j(0) \sin(\omega_j t)\\ y_j(t)=-x_j(0) \sin(\omega_j t)+y_j(0) \cos(\omega_j t). \end{cases} $$
Se puede comprobar fácilmente que ésta es la solución del sistema dado $x_j(0),y_j(0)$, $j=1,2$. Así, cada par $(x_j(t),y_j(t))$ para $j=1,2$ es una función periódica con período $2\pi/\omega_j$, pero esto no significa que la solución cuatridimensional completa sea una función periódica. De hecho, la solución completa es periódica con período $\tau$ si y sólo si existen enteros $p$ y $q$ tales que
$$ \omega_1\tau=p\cdot 2\pi\quad\text{and}\quad \omega_2 \tau=q\cdot 2\pi. $$
Por lo tanto, para que se produzca periodicidad, debemos tener
$$ \tau=\frac{2\pi p}{\omega_1}=\frac{2\pi q}{\omega_2}, $$
es decir,$$ \frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{p}{q}. $$
Por lo tanto, la razón de las dos frecuencias de los osciladores debe ser un número racional. ¿Qué ocurre cuando este cociente no es un número racional? Para entender geométricamente, y por tanto visualmente, lo que ocurre, pasemos a coordenadas polares $(r_j,\theta_j)$ en lugar de las variables $x_j$ e $y_j$. Este tipo de cambio ya lo hemos hecho varias veces. Obtenemos
$$ \begin{cases} \dot{r}_1=0\\ \dot{\theta}_1=-\omega_1\\ \dot{r}_2=0\\ \dot{\theta}_2=-\omega_2. \end{cases} $$
La primera y tercera ecuaciones nos dicen que tanto $r_1$ como $r_2$ permanecen constantes a lo largo de cualquier solución. Además, no importa lo que elijamos para nuestros valores iniciales $r_1$ y $r_2$, las ecuaciones $\theta_j$ siguen siendo las mismas. Dado $r_1(0)$ (es decir, el radio $r_1$ en el tiempo $t=0$), el primer oscilador puede representarse como un punto que gira a velocidad constante a lo largo de un círculo de radio $r_1(0)$. Lo mismo vale para el segundo oscilador con un círculo de radio $r_2(0)$ y con una velocidad angular diferente. Para unos pares dados $(r_1(0),r_2(0)$, el sistema completo puede visualizarse como un único punto que traza una trayectoria en un toro (la superficie de un donut) con coordenadas $\theta_1,\theta_2$. Las coordenadas son análogas a la latitud y la longitud.
En otras palabras, restringidas al toro determinado por los radios iniciales $r_1(0)$ y $r_2(0)$, las ecuaciones del sistema ahora
léase
$$ \begin{cases} \dot{\theta}_1=-\omega_1\\ \dot{\theta}_2=-\omega_2 \end{cases}. $$
Supongamos que $\omega_1/\omega_2$ es un número racional, es decir, , existen unos enteros $p,q$ sin factores comunes. Debe quedar intuitivamente claro que todas las trayectorias son cerradas en los recorridos, porque el punto completa $p$ revoluciones en la dirección $\theta_1$ en el mismo tiempo que completa $q$ revoluciones en el mismo tiempo. Por ejemplo, cuando $p=3$, $q=2$, obtenemos un nudo trébol. En general, si $p,q\geq 2$ no tienen factores comunes, las curvas resultantes se llaman $p:q$ nudos de trébol.
Supongamos ahora que $\omega_1/\omega_2$ es un número irracional, por ejemplo, $\sqrt{2}$. Observamos que cada trayectoria serpentea sin fin sobre el toroide, intersectándose a sí misma y sin embargo nunca se cierra del todo. Esto se llama un movimiento cuasiperiódico. De hecho, se puede demostrar que cada trayectoria es densa en el toro: en otras palabras, cada trayectoria se acerca arbitrariamente a cualquier punto dado del toro. (Atención: esto no es lo mismo que decir que pasa por cada punto, lo cual es falso).
La cuasiperiodicidad es un nuevo tipo de comportamiento a largo plazo. Nuestro ejemplo puede generalizarse a una dimensión superior (tomando más osciladores) y las distintas ecuaciones $\theta_j$ pueden acoplarse. La cuasiperiodicidad (y el caos) aparece en un sistema natural: el sistema solar. Vamos a ver un sistema mucho más simple: el péndulo doble plano.
El doble péndulo
The idealized planar pendulum was studied at the beginning of this ebook. The planar double pendulum consists of two coupled pendula, i.e., two point masses $m_1$ and $m_2$ attached to massless rigid rods of fixed lengths $L_1$ and $L_2$ moving in a constant gravitational field. We neglect all frictional effects.
Para simplificar, sólo se considera un movimiento plano del péndulo doble: las dos masas oscilan en un plano vertical común fijo. Como veremos, a pesar de su aparente simplicidad, este modelo tiene ya un comportamiento muy rico y complicado. El péndulo simple se describía mediante un sistema bidimensional que evolucionaba en el plano de fase definido por $x=\theta$ (el ángulo entre la varilla y la vertical descendente) y $y=\dot{\theta}$ (la velocidad angular de la varilla). Introduciendo las cuatro variables
$$ x_1=\theta_1,\; y_1=\dot{\theta}_1,\; x_2=\theta_2,\; y_2=\dot{\theta}_2, $$
se puede demostrar que la dinámica del péndulo doble puede ser representada por estas cuatro variables que satisfacen las ecuaciones
$$ \begin{cases} \dot{x}_1=y_1\\ \dot{y}_1= \frac{-g(2m_1+m_2)\sin(x_1)-m_2 g\sin(x_1-2x_2)-2m_2\sin(x_1-x_2)[L_2 y_2^2 + L_1y_1^2\cos(x_1-x_2)]} {L_1[2m_1+m_2-m_2\cos(2x_1-2x_2)]}\\ \dot{x}_2=y_2\\ \dot{y}_2= \frac{2\sin(x_1-x_2)[L_1 (m_1+m_2) y_1^2+g(m_1+m_2) \cos(x_1)+L_2 m_2 y_2^2\cos(x_1-x_2)]} {L_2[2m_1+m_2-m_2\cos(2x_1-2x_2)]}\, . \end{cases} $$
No es fácil visualizar un espacio de fase de cuatro dimensiones, por eso observamos dos proyecciones: una en el plano $x_1x_2$ y otra en el plano $y_1y_2$ en el experimento digital interactivo.
En el experimento digital que se muestra a continuación, se puede observar la dependencia sensible de las condiciones iniciales, característica principal del caos determinista: al lanzar el péndulo, se lanza otro con ángulos iniciales ligeramente diferentes.