El atractor de Lorenz - Generative eBooks

Introducción

We study three-dimensional systems of the form

$$ \begin{cases} \dot{x}=f(x,y,z)\ \dot{y}=g(x,y,z)\ \dot{z}=h(x,y,z) \end{cases} $$

donde $f,g,h:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ son funciones continuamente diferenciables. Dada una condición inicial $(x_0,y_0,z_0)$, existe una solución única $(x(t),y(t),z(t))$ que pasa por $(x_0,y_0,z_0)$ en el tiempo $t=0$. Al igual que los sistemas bidimensionales, los sistemas tridimensionales pueden tener puntos fijos que pueden estudiarse localmente por linealización. También pueden tener ciclos límite.

Recordemos que en los sistemas bidimensionales, Las trayectorias están demasiado limitadas y, por tanto, las soluciones tienen un destino sencillo. Normalmente, a largo plazo se ven atraídas hacia un punto fijo o una trayectoria cerrada. Vamos a ver cómo se produce un fenómeno completamente nuevo para los sistemas de dimensiones superiores, a saber, el caos determinista, que es consecuencia de la posible existencia de un llamado atractor extraño. Se trata de un conjunto con estructura fractal en el que el movimiento es aperiódico y sensible a pequeños cambios en las condiciones iniciales.

Si los sistemas bidimensionales se comprenden muy bien desde el punto de vista matemático, ¡queremos subrayar que esto dista mucho de ser así para los sistemas de dimensiones superiores! Probablemente estemos a décadas de distancia de comprender rigurosamente todos los fascinantes fenómenos que se producen en los sistemas que veremos a continuación. Así pues, huelga decir que no hacemos más que arañar la superficie de un tema vasto y muy abierto.

Unas últimas palabras generales antes de continuar: esperamos haber convencido al lector, si es necesario, sobre la utilidad de los experimentos digitales interactivos para explorar y visualizar sistemas bidimensionales. Para los sistemas tridimensionales y, en particular, para el descubrimiento de atractores extraños, tales experimentos no sólo son útiles, sino que son cruciales.

De la meteorología al atractor de Lorenz

Para estudiar el comportamiento posiblemente complicado de los sistemas tridimensionales, no hay mejor punto de partida que el famoso modelo propuesto por Lorenz en 1963. Antes de la aparición de este modelo, los únicos tipos de atractores estables conocidos en ecuaciones diferenciales eran los puntos fijos y las trayectorias cerradas. Este modelo ilustra en particular la dependencia sensible de las condiciones iniciales, también conocida por el gran público como el ‘efecto mariposa’ (expresión acuñada por el propio Lorenz).

El sistema de Lorenz viene dado por las ecuaciones

$$ \begin{cases} \dot{x}= \sigma(y-x)\ \dot{y}= rx-y-xz\ \dot{z}= xy-bz \end{cases} $$

donde $\sigma,r$ y $b$ son parámetros positivos. Lorenz encontró por primera vez fenómenos caóticos para

$$ \sigma=10, \, r=28,\, b=\frac{8}{3}\cdot $$

Una pequeña pista sobre la física que hay detrás del modelo

Explicar cómo Lorenz obtuvo sus ecuaciones nos llevaría lejos. Nos contentamos con unas pocas palabras. Lorenz estaba interesado en establecer un modelo sencillo que explicara parte del comportamiento impredecible del clima.

Los modelos físicos sensibles de la convección atmosférica implican ecuaciones diferenciales parciales y son extremadamente complicados de analizar. Lorenz buscó un sistema mucho más sencillo. Consideró una célula de fluido bidimensional que se calentaba desde abajo y se enfriaba desde arriba. En los modos de Fourier, el movimiento del fluido puede describirse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales en el que intervienen infinitas variables. Lorenz hizo una enorme simplificación al mantener sólo tres variables.

A grandes rasgos, $x$ representa la tasa de ‘vuelco&rsquo convectivo, mientras que $y$ y $z$ pueden considerarse como la temperatura horizontal y vertical, respectivamente. Obsérvese que $x,y,z$ no representan la posición de un punto en el espacio ambiente, sino un espacio de fase tridimensional abstracto.

En cuanto a los tres parámetros, $\sigma$ es el número de Prandtl (relacionado con la viscosidad del fluido), $r$ es el número de Rayleigh (relacionado con la diferencia de temperatura entre la parte superior e inferior de la célula, y $b$ es un factor de escala (relacionado con la relación de aspecto de los rodillos).

Algunas propiedades básicas de las ecuaciones de Lorenz

Es necesario un poco de trabajo preliminar para comprender mejor los retratos de fase que veremos más adelante.

Se puede comprobar que cuando $x=y=0$, tenemos $\dot{x}=\dot{y}=0$, por lo que el eje $z$ es invariante. En este eje, tenemos simplemente $\dot{z}=-bz$, por lo que todas las soluciones tienden al origen en este eje.

Hay una simetría en el campo vectorial: bajo la transformación $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,z)$, las ecuaciones siguen siendo las mismas. Por tanto, si $(x(t),y(t),z(t))$ es una solución, también lo es $(-x(t),-y(t),z(t))$. En otras palabras, todas las soluciones son simétricas por reflexión a través del eje $z$, o tienen una compañera simétrica.

El origen $(0,0,0)$ es obviamente un punto fijo. Después de un poco de álgebra fácil, se encuentra que hay un par de puntos fijos simétricos, siempre que $r>1$:

$$ P_{\pm}=\big(\pm \sqrt{b(r-1)}\, ,\pm \sqrt{b(r-1)}\, , r-1\big). $$

Representan rollos de convección que giran a la izquierda o a la derecha. Observamos que cuando $r=1$, se funden con el origen. Por lo tanto, es muy probable que tengamos una bifurcación en $r=1$.
Wuando $r<1$, se puede demostrar que todas las soluciones son atraídas por el origen. En otras palabras, el punto fijo $(0,0,0)$ es globalmente estable asintóticamente. Esto se puede demostrar utilizando Teorema de Lyapunov.

Construimos una función de (…)

Construimos una función de Lyapunov en todo $\mathbb{R}^3$. Sea

$$ L(x,y,z)=x^2+\sigma y^2 + \sigma z^2. $$

Entonces vamos a por un poco de álgebra fácil

$$ \dot{L}(x,y,z)=-2\sigma\big( x^2+y^2-(1+r)xy\big)-2\sigma b z^2. $$

Por lo tanto tenemos $\dot{L}(x,y,z)<0$ lejos de $(0,0,0)$ siempre que

$$ \phi(x,y)=x^2+y^2-(1+r)xy>0 $$

para $(x,y)\neq (0,0)$. Esto es obviamente cierto en el eje $y$. Consideremos una recta arbitraria $y=mx$ en el plano $xy$ que no sea el eje $y$.
Tenemos

$$ \phi(x,mx)=x^2(m^2-(1+r)m+1). $$

Se comprueba fácilmente que el término cuadrático $x^2(m^2-(1+r)m+1)$ es positivo para todo $m$ si $r<1$. Por lo tanto, obtenemos la conclusión deseada por el teorema de Lyapunov.

La linealización alrededor del punto fijo $(0,0,0)$ es inmediata: basta con omitir las no linealidades $xy$ y $xz$ en las ecuaciones de Lorenz. Obtenemos el sistema lineal

$$ \begin{cases} \dot{x}= \sigma(y-x)\ \dot{y}= rx-y\ \dot{z}= -bz \end{cases} $$

en la que la ecuación para $z$ se desacopla de las otras dos ecuaciones, y da que $z(t)\to 0$ exponencialmente rápido. Las otras dos variables se rigen por

$$ \begin{pmatrix} \dot{x} \ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sigma & \sigma \ r & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix}. $$

La traza de la matriz es $-\sigma-1<0$ y su determinante es $\sigma(1-r)$. Si $r<1$, el origen es un sumidero (y es el único punto fijo). Si $r>1$, el origen es una silla de montar. Hasta ahora, sólo hemos encontrado monturas en dimensión dos. \texttt[Hyperlien `a mettre] Tienen un estable y un inestable colector. Localmente, esto significa que hay una dirección de entrada y otra de salida. Para una silla de montar en dimensión 3, el número de direcciones entrantes más el número de direcciones salientes es igual a $3$. Aquí tenemos una dirección saliente y dos entrantes.

Linealizando sobre los otros dos puntos fijos, que existen sólo si $r>1$, se puede comprobar que son sumideros siempre que

$$ r < r^*=\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1} $$

con la condición extra de que $\sigma>b+1$. Omitimos los detalles. Resulta que se produce una bifurcación Hopf en $r^*$, pero esto es realmente difícil de demostrar. La bifurcación es subcrítica. La observaremos a continuación.

En lugar de dejar al lector solo, vamos a guiarle proponiéndole varios experimentos digitales, antes de proponerle la versión completa.

Dependencia sensible de las condiciones iniciales y el caos

Utilizamos los parámetros $\sigma=10, r=28, b=8/3$ que condujeron al descubrimiento de Lorenz. Por lo tanto tenemos los tres puntos fijos que están presentes.

Se puede observar que soluciones que empiezan de forma muy diferente parecen tener el mismo destino, si olvidamos el ‘comportamiento transitorio’. Ambas acaban dando vueltas alrededor del par simétrico de puntos fijos, alternando a veces qué punto rodean. Esto forma un conjunto complicado, el llamado atractor de Lorenz, en el que las soluciones permanecen para siempre.

El experimento anterior puede ser engañoso porque puede dejar la impresión de que si se empieza con dos condiciones iniciales muy próximas, las soluciones resultantes viajan muy cerca la una de la otra, antes de llegar al atractor pero también una vez que están en él. El siguiente experimento demuestra que esto es falso. Esta vez puedes ver cómo dos puntos inicialmente cercanos evolucionan en el atractor.

Se puede observar que las dos soluciones se alejan bastante durante su recorrido alrededor del atractor. Además, se puede ver que las trayectorias son casi idénticas durante un cierto periodo de tiempo, pero luego difieren significativamente a medida que una solución gira alrededor de uno de los puntos fijos simétricos, mientras que la otra gira alrededor del otro. No importa lo cerca que empiecen dos soluciones, siempre se separan de esta manera cuando están en el atractor. Esto es dependencia sensible de las condiciones iniciales, una de las principales características de un sistema caótico.

Además, observamos que las soluciones pasan de un ‘lóbulo’ del atractor a otro de forma aparentemente impredecible, lo que conduce a una oscilación irregular que nunca se repite: tenemos un movimiento aperiódico. Se denomina caos determinista porque las ecuaciones son deterministas pero las soluciones pueden comportarse de forma aparentemente aleatoria. Recordemos que ‘determinista’ significa que, dado el estado presente, el futuro (y el pasado) están completamente determinados. Matemáticamente, esto significa que, dada una condición inicial $(x_0,y_0,z_0)$, existe una solución única $(x(t),y(t),z(t))$ que pasa por $(x_0,y_0,z_0)$ en el tiempo $t=0$. Pero, para predecir la evolución futura, necesitamos conocer exactamente la condición inicial, lo que es imposible en la práctica. En un sistema caótico, esto conduce a la imprevisibilidad. Para ilustrar esto, consideremos una pequeña mancha si las condiciones iniciales alrededor de $(x_0,y_0,z_0)$. Observamos que, rápidamente, esta mancha se extiende por todo el atractor. Esto significa que un pequeño error en la condición inicial se amplifica rápidamente de tal manera que sólo sabemos que estamos en el atractor, pero no sabemos exactamente dónde.

Más sobre el (extraño) atractor de Lorenz

Todas las soluciones están acotadas. Queremos probar el hecho observado de que las soluciones que empiezan lejos del origen al menos se acercan a él. En otras palabras, queremos demostrar que todas las trayectorias están confinadas en un conjunto acotado. Ya sabemos que esto y más es cierto cuando $r<1$ (todas las soluciones convergen al origen). Para demostrar este hecho para cualquier $r$, definimos la función

$$ V(x,y,z)=rx^2+\sigma y^2+\sigma(z-2r)^2. $$

Nótese que las superficies de constante $V$ son elipsoides concéntricos centrados en $(0,0,2r)$. Afirmamos que existe $v^*$ tal que cualquier solución que comienza fuera del elipsoide $V(x,y,z)=v^*$ eventualmente entra y luego permanece atrapado en ella para todo el tiempo futuro.

Calculamos la derivada de (…)

Calculamos la derivada de $V$ a lo largo de las soluciones de los sistemas:

$$ \begin{aligned} \dot{V} &=-2\sigma\big(rx^2 +y^2+b(z^2-2rz)\big)\ &=-2\sigma\big(rx^2 +y^2+b(z-r)^2-br^2 \big). \end{aligned} $$

La ecuación

$$ rx^2 +y^2+b(z-r)^2=\rho $$

también define un elipsoide cuando $\rho>0$. Cuando $\rho>br^2$ tenemos $\dot{V}<0$. Por tanto, podemos elegir $v^*$ suficientemente grande para que el elipsoide $V=v^*$ contenga estrictamente al elipsoide

$$ rx^2 +y^2+b(z-r)^2=br^2 $$

en su interior. Entonces $\dot{V}<0$ para todo $v\geq v^*$.

En consecuencia, todas las soluciones que parten lejos del origen son atraídas a un conjunto que se encuentra dentro del elipsoide $V(x,y,z)=v^*$.

El siguiente hecho que queremos establecer es que el conjunto al que todas las soluciones son atraídas tiene volumen cero. De nuevo esto es obvio cuando $r<1$ ya que, en este caso, todas las soluciones convergen al origen que tiene volumen cero. Para los valores para los que se observa el atractor de Lorenz, es decir, cuando $\sigma=10, r=28,b=8/3$, esto no es obvio en absoluto. Para demostrar este hecho, tenemos que responder a una pregunta general básica: ¿cómo evolucionan los volúmenes? Más concretamente, tomemos un sistema tridimensional cualquiera

$$ \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) $$

donde $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=(f(\boldsymbol{x}),g(\boldsymbol{x}),h(\boldsymbol{x}))$ y $\boldsymbol{x}=(x,y,z)$. Tomemos una región arbitraria $D$ (con frontera suave) en $\mathbb{R}^3$. Pensemos en los puntos de $D$ como condiciones iniciales para las trayectorias, y dejemos que evolucionen. En el tiempo $t$, obtenemos un conjunto $D(t)$. Sea $V(t)$ el volumen de $D(t)$. Entonces el teorema de Liouville afirma que

$$ \dot{V}=\int_{D(t)} \text{div}(\boldsymbol{f})\, \text{d}x\, \text{d}y\, \text{d}z $$
donde

$$ \text{div}(\boldsymbol{f})= \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z} $$

es la divergencia del campo vectorial $\boldsymbol{f}$.

Apliquemos la fórmula anterior para las ecuaciones de Lorenz. Esto da inmediatamente

$$ \dot{V}=-(\sigma+1+b) V $$

ya que la divergencia es la constante $-(\sigma+1+b)$. Resolviendo esta sencilla ecuación se obtiene

$$ V(t)=e^{-(\sigma+1+b)t}V(0) $$

donde $V(0)$ es el volumen de $D$. La conclusión es que cualquier volumen en el espacio de fase debe reducirse exponencialmente rápido a $0$. Por lo tanto, en particular, el atractor de Lorenz tiene volumen cero.

Como es sabido, un punto, una curva o una superficie tienen volumen cero en $\mathbb{R}^3$. El atractor de Lorenz parece un par de superficies que se funden en una en la parte inferior. Pero esto es difícil de creer en vista de la unicidad de las soluciones de la ecuación diferencial: ¡las trayectorias no pueden cruzarse ni fusionarse! De hecho, un estudio más profundo revelaría que el atractor no es una superficie, sino un conjunto fractal, cuya dimensión de Hausdorff se encuentra numéricamente en torno a $2,06$ (nadie ha podido demostrarlo matemáticamente hasta ahora). Si el atractor fuera una superficie, la dimensión de Hausdorff coincidiría con la dimensión habitual y sería igual a $2$.

La asombrosa conclusión es la siguiente: cuando $\sigma=10, r=28,b=8/3$, todas las soluciones del sistema de Lorenz quedan confinadas en un conjunto acotado de volumen cero en el que consiguen moverse para siempre, y sus trayectorias no se intersecan ni intersecan ninguna de las otras trayectorias. Así pues, ¡el atractor de Lorenz es realmente un objeto extraño y extremadamente complejo!

El experimento digital interactivo completo

Aquí puedes jugar con el sistema Lorenz cambiando los tres parámetros en amplios rangos.

He aquí una pequeña muestra de lo que se puede observar si se fija $\sigma=10$, $b=8/3$, y se observa la dependencia $r$ de las soluciones del sistema de Lorenz:

Para $0 < r < 1$, el origen es el único punto fijo y todas las soluciones son atraídas hacia él, como demostramos anteriormente. A $r=1$, se produce una bifurcación en horquilla: para $r$ un poco por encima de este umbral (digamos, igual a $1,5$), el origen pierde su estabilidad y aparecen dos puntos fijos atractivos.
En el valor $r=13,93$ aparecen dos ciclos límite repulsivos, cada uno de los cuales rodea uno de los dos puntos fijos simétricos. Aumentando $r$, pero manteniéndonos por debajo del valor $r\approx 24$, observamos que estos ciclos se contraen a estos puntos fijos.
En el parámetro $r^*=470/19\approx 24,74$ (véase la fórmula para $r^*$ más arriba), se produce una bifurcación de Hopf subcrítica: los ciclos límite repulsivos se fusionan con el punto fijo atractivo y los hacen repulsivos.
En el parámetro $r=28$, se observa el atractor de Lorenz que ya vimos antes.
Disminuyendo $r$ dentro del intervalo $[99,101]$, se observa un tipo de bifurcación que aún no hemos visto: la llamada bifurcación de duplicación de período: hay un ciclo límite atrayente cuyo período se duplica a medida que disminuimos $r$ dentro de un intervalo minúsculo. Cuando salimos de este intervalo disminuyendo aún más $r$, el período anterior se duplica, y así sucesivamente. De hecho, ¡hay una serie infinita de bifurcaciones que duplican el período!
Tomemos por ejemplo $r=99,96$. Obtenemos una trayectoria cerrada anudada. Se llama nudo toroidal $T(3,2)$, lo que significa que el hilo del nudo rodea el toro 2 veces y atraviesa el agujero del toro 3 veces).

Para concluir sobre el sistema de Lorenz, digamos que el comportamiento del sistema de Lorenz a medida que aumenta el parámetro $r$ es objeto de investigación contemporánea en matemáticas, y estamos muy lejos de comprender todos los fenómenos que se producen a medida que cambian los parámetros.