En esta sección se pueden observar los atractores que surgen en distintos ámbitos. Nuestro objetivo es mostrar atractores caóticos extraños con diferentes formas que surgen en diversos contextos.
Una caótica cadena alimentaria de tres especies
In 1991, Hastings and Powell proposed the following model of a three-level food chain:
$$ \begin{cases} \dot{x}=x\,(1-x)-f_1(x)\,y\\ \dot{y}=f_1(x)\,y - f_2(y)\,z-d_1 y\\ \dot{z} = f_2(y)\,z-d_2 z \end{cases} $$
con$$ f_1(x)=\frac{a_1 x }{1+b_1 x}\quad\text{and}\quad f_2(y)=\frac{a_2 y }{1+b_2 y}. $$
La especie con densidad $x$ se encuentra en el nivel más bajo de la cadena. Es consumida por la especie intermedia con densidad $y$, que a su vez es consumida por la especie con densidad $z$ que se encuentra en la parte superior de la cadena y no tiene depredador. En ausencia del depredador superior, el sistema se reduce a
$$ \begin{cases} \dot{x}=x\,(1-x)-f_1(x)\,y\\ \dot{y}=f_1(x)\, y-d_1 y. \end{cases} $$
Puedes reconocer el modelo presa-predador de Rosenzweig-McArthur. En el experimento digital tomamos
$$ a_1=5,\thinspace a_2=0.1, \thinspace b_2=2, \thinspace d_1=0.4,\thinspace d_2=0.01,\thinspace \text{and}\thinspace b_1\in [2,6.2]. $$
Se puede observar un atractor extraño caótico para algunos valores de $b_1$.
Un atractor con estructura en espiral
Mostramos un atractor extraño propuesto por Arneodo, Coullet y Tresser en 1981. Está generado por las ecuaciones
$$ \begin{cases} \dot{x}=y\\ \dot{y}=z\\ \dot{z} = ax-by-z-cx^3 \end{cases} $$
with $a=5.5$, $b=3.5$, and $c=1$.
El circuito de Chua y el atractor de doble rodillo
A mediados de los ochenta, Chua modeló un circuito que era un oscilador simple que presentaba diversos fenómenos de bifurcación y caos. En forma adimensional, las ecuaciones son
$$ \begin{cases} \dot{x}=a\, (y-x-g(x))\\ \dot{y}=x-y+z\\ \dot{z} = -by \end{cases} $$
donde $a,b$, y $c$ son parámetros adimensionales. La función $g(x)$ tiene la forma
$$ g(x)=cx+\frac{1}{2} (d-c)\big(|x+1|-|x-1|\big) $$
donde $c$ y $d$ son constantes. Antes de la adimensionalización, $x$ e $y$ representan un voltaje, y $z$ una corriente.
Aquí sólo mostramos el llamado atractor de doble desplazamiento que aparece para los valores
$$ a=15, \thinspace b=25.58,\thinspace c=-5/7, \thinspace d=-8/7. $$
Ecuaciones de Rabinovich-Fabrikant
En 1979, Rabinovich y Fabrikant propusieron las ecuaciones
$$ \begin{cases} \dot{x}=y\, (z-1+x^2)+\gamma x\\ \dot{y}=x\, (3z+1-x^2)+\gamma y\\ \dot{z} = -2z\,(\alpha+xy) \end{cases} $$
donde $\alpha,\gamma$ son parámetros. Se obtuvo tras la simplificación de un modelo de automodulación de ondas en medios en desequilibrio. Cuando $\gamma=0,87$, $\alpha=1,1$, existe un atractor extraño.