En 1976, Rössler construyó el siguiente sistema tridimensional
$$ \begin{cases} \dot{x}=-y-z\\ \dot{y}=x+a y\\ \dot{z} = b+z(x-c) \end{cases} $$
donde $a,b$, y $c$ son parámetros. Rössler buscaba un sistema que se comportara como el sistema de Lorenz, pero más fácil de analizar. Obsérvese que el único término no lineal aparece en la ecuación $\dot{z}$ y es cuadrático. Obsérvese también que, si $z=0$, obtenemos un sistema lineal en el plano $xy$. Como los parámetros varían, este sistema simple puede mostrar una amplia gama de comportamiento.
Es fácil comprobar que existen a lo sumo dos puntos fijos, a saber
$$ \left(\, \frac{c\pm \sqrt{c^2-4ab}}{2},\, \frac{-c\mp \sqrt{c^2-4ab}}{2a},\, \frac{c\pm \sqrt{c^2-4ab}}{2a}\, \right) $$
que existen siempre que $c^2\geq 4ab$.
Empecemos con los valores de Rössler para los parámetros:
$$ a=0.2,\thinspace b=0.2,\thinspace c=5.7. $$
Podemos observar que una solución dentro del atractor sigue una espiral hacia fuera cerca del plano $xy$ alrededor de uno de los puntos fijos. Una vez que la solución se aleja lo suficiente en espiral, el segundo punto fijo influye en la trayectoria de la solución en el sentido de que puede provocar un ascenso y un giro en la dimensión $z$. La dependencia sensible de las condiciones iniciales se manifiesta claramente, como muestra el siguiente experimento.
Puede explorar el comportamiento de las soluciones del sistema de Rössler a medida que cambian los parámetros.
El sistema Rössler tiene un comportamiento increíblemente rico a medida que se varían los parámetros. Vamos a contar una pequeña parte de la historia.
Podemos, por ejemplo, fijar $b$ en 0,2$ y $c$ en 5,7$, y cambiar $a$. Entonces puedes observar los siguientes comportamientos:
- $a=0,1$: ciclo unitario de periodo $1$;
- $a=0,2$: el atractor de Rössler;
- $a=0,3$: atractor caótico, tipo banda de M\"obius;
- Aumentando $a$ más se obtiene un atractor caótico similar al caso $a=0,3$, cada vez parece más caótico.
También se puede tomar $a=b=0,2$ y hacer que $c$ aumente de $2,5$ a $10$. Observarás ‘ventanas’ de periodicidad intercaladas con ‘ventanas’ de caos (aperiodicidad).
- $c=2,5$: las soluciones van a parar a un atractor que es un ciclo límite;
- $c=3$: el ciclo límite se tuerce y sigue siendo atractivo. Si nos fijamos en los gráficos de las series temporales, es decir, $x(t)$, $y(t)$ o $z(t)$, observamos que hay dos conjuntos distintos de máximos y mínimos. Observando la proyección en el plano $xy$, esto significa que la solución correspondiente (una vez que está en el ciclo límite) hace dos bucles antes de volver a tomar los mismos valores.
- $c=4$: observamos una nueva torsión del ciclo límite atractivo que corresponde a cuatro conjuntos distintos de máximos y mínimos.
- $c=4,2$: tenemos otra torsión que corresponde a ocho conjuntos distintos de picos y valles. Este es el comienzo de una cascada de duplicación de períodos, es decir, una secuencia de bifurcaciones de duplicación de períodos.
- A medida que $c$ aumenta un poco, observamos un comportamiento caótico. De hecho, con una resolución mayor, se podrían ver más duplicaciones de periodo (de hecho, infinitas) en un intervalo de tamaño finito.
- A medida que $c$ aumenta, se observa la reaparición de un ciclo límite atractivo para un intervalo pequeño de parámetros. Aumentando $c$, podemos observar una nueva cascada de duplicación de periodos que conduce al caos y que tiene lugar en un intervalo más corto que para la cascada de duplicación de periodos anterior.
Una forma concisa y llamativa de visualizar los fenómenos que acabamos de describir es dibujar un diagrama de bifurcación.
Hay varias formas de dibujar un diagrama de este tipo. Aquí lo hacemos de la siguiente manera. Olvidémonos de $z(t)$ y registremos los valores positivos de $x(t)$ cuando $y(t)$ atraviesa el umbral $y=0$. Por supuesto, tenemos que dejar de lado el comportamiento transitorio. Si para un valor dado de $c$ hay, digamos, cuatro puntos, significa que tenemos un ciclo límite y que la solución periódica proyectada correspondiente en el plano $xy$ hace cuatro bucles antes de volver a tomar los mismos valores.