En 1976, Rössler a construit le système tridimensionnel suivant.
$$ \begin{cases} \dot{x}=-y-z\\ \dot{y}=x+a y\\ \dot{z} = b+z(x-c) \end{cases} $$
où $a,b$, et $c$ sont des paramètres. Rössler cherchait un système se comportant comme le système de Lorenz, mais plus facile à analyser. Notez que le seul terme non linéaire apparaît dans l’équation $\dot{z}$ et est quadratique. Notez également que, si $z=0$, nous obtenons un système linéaire dans le plan $xy$. Lorsque les paramètres varient, ce système simple peut présenter un large éventail de comportements.
Il est facile de vérifier qu’il existe au plus deux points fixes, à savoir
$$ \left(\, \frac{c\pm \sqrt{c^2-4ab}}{2},\, \frac{-c\mp \sqrt{c^2-4ab}}{2a},\, \frac{c\pm \sqrt{c^2-4ab}}{2a}\, \right) $$
qui existent à condition que $c^2\geq 4ab$.
Commençons par les valeurs de Rössler pour les paramètres :
$$ a=0,2,\thinspace b=0,2,\thinspace c=5,7. $$
Nous pouvons observer qu’une solution au sein de l’attracteur suit une spirale vers l’extérieur proche du plan $xy$ autour d’un des points fixes. Une fois que la solution spirale suffisamment vers l’extérieur, le deuxième point fixe influence la trajectoire de la solution en ce qu’il peut provoquer une élévation et une torsion dans la dimension $z$. La dépendance sensible aux conditions initiales se manifeste clairement, comme le montre l’expérience suivante.
Vous pouvez explorer le comportement des solutions du système de Rössler lorsque les paramètres changent.
Le système de Rössler a un comportement incroyablement riche lorsque les paramètres varient. Racontons une petite partie de l’histoire.
Vous pouvez par exemple fixer $b$ à 0,2$ et $c$ à 5,7$, et modifier $a$. Vous pouvez alors observer les comportements suivants :
- $a=0,1$ : cycle unitaire de période $1$ ;
- $a=0.2$ : l’attracteur de Rössler ;
- $a=0.3$ : attracteur chaotique, en forme de bande de Möbius ;
- Augmenter encore $a$ donne un attracteur chaotique similaire au cas $a=0.3$, il semble de plus en plus chaotique.
Vous pouvez également prendre $a=b=0,2$ et faire en sorte que $c$ augmente de 2,5$ à 10$. Vous observerez des ‘fenêtres’de périodicité entrecoupées de ‘fenêtres’de chaos (apériodicité).
- $c=2.5$ : les solutions vont se retrouver sur un attracteur qui est un cycle limite ;
- $c=3$ : le cycle limite est tordu et reste attractif. En regardant les tracés des séries temporelles, c’est-à-dire $x(t)$, $y(t)$ ou $z(t)$, nous observons qu’il y a deux ensembles distincts de pics et de creux. En regardant la projection dans le plan $xy$, cela signifie que la solution correspondante (une fois qu’elle est sur le cycle limite) fait deux boucles avant de reprendre les mêmes valeurs.
- $c=4$ : nous observons une autre torsion du cycle limite attractif qui correspond à quatre ensembles distincts de pics et de creux.
- $c=4,2$ : nous avons encore une autre torsion qui correspond à huit ensembles distincts de pics et de creux. C’est le début d’une cascade de doublement de période, c’est-à-dire une séquence de bifurcations de doublement de période.
- Lorsque $c$ augmente un peu, nous observons un comportement chaotique. En fait, avec une résolution plus élevée, on pourrait voir d’autres doublements de période (en fait, infiniment nombreux) dans un intervalle de taille finie.
- En augmentant $c$, nous pouvons observer la réapparition d’un cycle limite attractif pour un petit intervalle de paramètres. En augmentant $c$, nous pouvons observer une nouvelle cascade de doublement de période menant au chaos qui se produit dans un intervalle plus court que pour la cascade de doublement de période précédente.
Une façon concise et frappante de visualiser les phénomènes que nous venons de décrire est de dessiner un diagramme de bifurcation.
Il existe différentes manières de dessiner un tel diagramme. Ici, nous le réalisons de la manière suivante. On oublie $z(t)$ et on note les valeurs positives de $x(t)$ lorsque $y(t)$ passe par le seuil $y=0$. Bien sûr, nous devons laisser de côté le comportement transitoire. Si pour une valeur donnée de $c$ il y a, disons, quatre points, cela signifie que nous avons un cycle limite et que la solution périodique projetée correspondante sur le plan $xy$ fait quatre boucles avant de reprendre les mêmes valeurs.