Introduction
Nous étudions les systèmes tridimensionnels de la forme
$$ \begin{cases} \dot{x}=f(x,y,z)\ \dot{y}=g(x,y,z)\ \dot{z}=h(x,y,z) \end{cases} $$
où $f,g,h :\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ sont des fonctions continûment différentiables. Étant donnée une condition initiale $(x_0,y_0,z_0)$, il existe une solution unique $(x(t),y(t),z(t))$ passant par $(x_0,y_0,z_0)$ au temps $t=0$. Comme les systèmes bidimensionnels, les systèmes tridimensionnels peuvent avoir des points fixes que l’on peut étudier localement par linéarisation. Ils peuvent également avoir des cycles limites.
Rappelons que dans les systèmes bidimensionnels, les trajectoires sont un peu trop contraintes et les solutions ont donc un destin simple. Typiquement, elles sont attirées à long terme soit vers un point fixe, soit vers une trajectoire fermée. Nous allons voir un phénomène complètement nouveau se produire pour les systèmes de dimension supérieure, à savoir le chaos déterministe qui est la conséquence de l’existence possible d’un attracteur étrange. Il s’agit d’un ensemble à structure fractale sur lequel le mouvement est apériodique et sensible à d’infimes changements des conditions initiales.
Si les systèmes bidimensionnels sont très bien compris du point de vue mathématique, nous tenons à souligner que c’est loin d’être le cas pour les systèmes de dimension supérieure ! Nous sommes probablement à des décennies de comprendre rigoureusement tous les phénomènes fascinants qui se produisent dans les systèmes que nous verrons plus loin. Il va donc sans dire que nous ne faisons qu’effleurer la surface d’un sujet vaste et ouvert.
Un dernier mot d’ordre général avant de poursuivre : nous espérons avoir convaincu le lecteur, si nécessaire, de l’utilité des expériences numériques interactives pour explorer et visualiser les systèmes bidimensionnels. Pour les systèmes tridimensionnels et, en particulier, pour la découverte des attracteurs étranges, de telles expériences ne sont pas seulement utiles, elles sont cruciales.
De la météorologie à l’attracteur de Lorenz
Pour étudier le comportement éventuellement compliqué des systèmes tridimensionnels, il n’y a probablement pas mieux pour commencer que le célèbre modèle proposé par Lorenz en 1963. Avant l’apparition de ce modèle, les seuls types d’attracteurs connus pour des équations différentielles étaient les points fixes et les trajectoires fermées (cycles limites). Ce modèle illustre en particulier la sensibilit aux conditions initiales, également connue par le grand public sous le nom d’« effet papillon » (une expression inventée par Lorenz lui-même).
Le système de Lorenz est donné par les équations suivantes
$$ \begin{cases} \dot{x}= \sigma(y-x)\ \dot{y}= rx-y-xz\ \dot{z}= xy-bz \end{cases} $$
où $\sigma,r$ et $b$ sont des paramètres positifs. Lorenz a rencontré pour la première fois des phénomènes chaotiques pour
$$ \sigma=10, \, r=28,\, b=\frac{8}{3}\cdot $$
Un petit indice de la physique derrière le modèle
Expliquer comment Lorenz a obtenu ses équations nous entraînerait loin. Nous nous contentons de quelques mots. Lorenz souhaitait mettre en place un modèle simple qui expliquerait certains comportements imprévisibles de la météo.
Les modèles physiques sensibles de la convection atmosphérique impliquent des équations différentielles partielles, et sont extrêmement compliqués à analyser. Lorenz a cherché un système beaucoup plus simple. Il a considéré une cellule fluide bidimensionnelle qui était chauffée par le bas et refroidie par le haut. Dans les modes de Fourier, le mouvement du fluide peut être décrit par un système d’équations différentielles impliquant un nombre infini de variables. Lorenz a fait une énorme simplification en ne gardant que trois variables !
En gros, $x$ représente le taux de renversement convectif, tandis que $y$ et $z$ peuvent être considérés comme la température horizontale et verticale, respectivement. Notez que $x,y,z$ ne représentent donc pas la position d’un point dans l’espace ambiant, mais plutôt un espace de phase tridimensionnel abstrait.
Concernant les trois paramètres, $\sigma$ est le nombre de Prandtl (lié à la viscosité du fluide), $r$ est le nombre de Rayleigh (lié à la différence de température entre le haut et le bas de la cellule, et $b$ est un facteur d’échelle (lié au rapport d’aspect des rouleaux).
Quelques propriétés de base des équations de Lorenz
Un petit travail de base est nécessaire pour mieux comprendre les portraits de phase que nous verrons par la suite.
On peut vérifier que lorsque $x=y=0$, on a $\dot{x}=\dot{y}=0$, donc l’axe $z$ est invariant. Sur cet axe, on a simplement $\dot{z}=-bz$, donc toutes les solutions tendent vers l’origine sur cet axe.
Il existe une symétrie dans le champ de vecteurs : sous la transformation $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,z)$, les équations restent les mêmes. Par conséquent, si $(x(t),y(t),z(t))$ est une solution, il en est de même pour $(-x(t),-y(t),z(t))$. En d’autres termes, toutes les solutions sont soit symétriques par réflexion sur l’axe $z$, soit ont un compagnon symétrique.
L’origine $(0,0,0)$ est évidemment un point fixe. Après un peu d’algèbre facile, on trouve qu’il existe une paire de points fixes symétriques, à condition que $r>1$ :
$$
P_{\pm}=\big(\pm \sqrt{b(r-1)}\, ,\pm \sqrt{b(r-1)}\, , r-1\big).
Ils représentent des rouleaux de convection tournant à gauche ou à droite. Nous observons que lorsque $r=1$, ils se confondent avec l’origine. Il est donc très probable que nous ayons une bifurcation en fourche à $r=1$.
Lorsque $r<1$, on peut montrer que toutes les solutions sont attirées par l’origine. En d’autres termes, le point fixe $(0,0,0)$ est globalement asymptotiquement stable. Ceci peut être prouvé en utilisant le théorème de Lyapunov.
La linéarisation autour du point fixe $(0,0,0)$ est immédiate : il suffit d’omettre les non-linéarités $xy$ et $xz$ dans les équations de Lorenz. On obtient le système linéaire
$$ \begin{cases} \dot{x}= \sigma(y-x)\ \dot{y}= rx-y\ \dot{z}= -bz \end{cases} $$
dans laquelle l’équation pour $z$ est découplée des deux autres équations, et donne que $z(t)$ à $0$ exponentiellement rapide. Les deux autres variables sont régies par
$$ \begin{pmatrix} \dot{x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \sigma & \sigma \ r & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\- y \end{pmatrix}. $$
La trace de la matrice est $-\sigma-1<0$ et son déterminant est $\sigma(1-r)$. Si $r<1$, l’origine est donc un puits (et c’est le seul point fixe). Si $r>1$, l’origine est une selle. Jusqu’à présent, nous n’avons rencontré des selles qu’en dimension deux. \texttt[Hyperlien `a mettre] Elles ont un collecteur stable et un collecteur instable. Localement, cela signifie qu’il y a une direction entrante et une direction sortante. Pour une selle en dimension 3, le nombre de directions entrantes plus le nombre de directions sortantes est égal à $3$. Ici, nous avons une direction sortante et deux directions entrantes.
En linéarisant sur les deux autres points fixes, qui n’existent que si $r>1$, on peut vérifier qu’ils sont des puits à condition que
$$ r < r^*=\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1} $$
avec la condition supplémentaire que $\sigma>b+1$. Nous omettons les détails. Il s’avère qu’une bifurcation de Hopf se produit à $r^*$, mais c’est vraiment difficile à prouver. La bifurcation est sous-critique. Nous l’observerons plus loin.
Au lieu de laisser le lecteur se débrouiller seul, nous allons le guider en lui proposant plusieurs expériences numériques, avant de proposer la version complète.
Dépendance sensible aux conditions initiales et chaos
Nous utilisons les paramètres $\sigma=10, r=28, b=8/3$ qui ont conduit à la découverte de Lorenz. De là, nous avons les trois points fixes présents.
Vous pouvez observer que des solutions qui commencent de manière très différente semblent avoir le même destin, si l’on oublie le ‘comportement transitoire&rsquo ;. Elles finissent toutes deux par s’enrouler autour de la paire symétrique de points fixes, en alternant parfois le point qu’elles encerclent. Cela forme un ensemble compliqué, appelé attracteur de Lorenz, sur lequel les solutions restent pour toujours.
L’expérience précédente peut être trompeuse car elle peut donner l’impression que si vous commencez avec deux conditions initiales très proches, les solutions résultantes voyagent très près l’une de l’autre, avant d’arriver sur l’attracteur mais aussi une fois qu’elles y sont. L’expérience suivante montre que c’est faux ! Cette fois, vous pouvez voir comment des points initialement proches évoluent sur l’attracteur.
Vous pouvez observer que les deux solutions se déplacent assez loin l’une de l’autre pendant leur parcours autour de l’attracteur. De plus, vous pouvez voir que les trajectoires sont presque identiques pendant une certaine période de temps, mais qu’elles diffèrent ensuite de manière significative lorsqu’une solution s’enroule autour d’un des points fixes symétriques, tandis que l’autre solution s’enroule autour de l’autre. Quelle que soit la proximité de départ de deux solutions, elles s’éloignent toujours de cette manière lorsqu’elles se trouvent sur l’attracteur. Il s’agit d’une dépendance sensible aux conditions initiales, l’une des principales caractéristiques d’un système chaotique.
De plus, on observe que les solutions passent d’un ‘lobe&rsquo ; de l’attracteur à l’autre de manière apparemment imprévisible, ce qui conduit à une oscillation irrégulière qui ne se répète jamais : on a un mouvement apériodique. On parle de choc déterministe car les équations sont déterministes mais les solutions peuvent se comporter de manière apparemment aléatoire. Rappelons que le terme "déterministe" signifie que, compte tenu de l’état actuel, le futur (et le passé) est complètement déterminé. Mathématiquement, cela signifie que, étant donné une condition initiale $(x_0,y_0,z_0)$, il existe une solution unique $(x(t),y(t),z(t))$ passant par $(x_0,y_0,z_0)$ au temps $t=0$. Mais, pour prédire l’évolution future, il faut connaître exactement la condition initiale, ce qui est impossible en pratique. Dans un système chaotique, cela conduit à l’imprévisibilité. Pour illustrer cela, considérons un petit blob si les conditions initiales autour de $(x_0,y_0,z_0)$. Nous observons que, rapidement, cette tache s’étale sur l’ensemble de l’attracteur ! Cela signifie qu’une minuscule erreur sur la condition initiale est amplifiée rapidement de telle sorte que nous savons seulement que nous sommes sur l’attracteur, mais nous ne savons pas précisément où.
Plus de détails sur l’attracteur (étrange) de Lorenz.
Toutes les solutions sont bornées. Nous voulons prouver le fait observé que les solutions qui commencent loin de l’origine s’en rapprochent au moins. En d’autres termes, nous voulons montrer que toutes les trajectoires sont confinées dans un ensemble borné. Nous savons déjà que ce fait et bien d’autres sont vrais lorsque $r<1$ (toutes les solutions convergent vers l’origine). Pour prouver ce fait pour tout $r$, définissez la fonction
$$
V(x,y,z)=rx^2+\sigma y^2+\sigma(z-2r)^2.
Notons que les surfaces de constante $V$ sont des ellipsoïdes concentriques centrés sur $(0,0,2r)$. Nous affirmons qu’il existe $v^*$ tel que toute solution qui commence à l’extérieur de l’ellipsoïde $V(x,y,z)=v^*$ finit par y entrer puis par y rester piégée pour tout le temps futur.
Par conséquent, toutes les solutions partant loin de l’origine sont attirées par un ensemble situé à l’intérieur de l’ellipsoïde $V(x,y,z)=v^*$.
L’attracteur de Lorenz a un volume nul. Le prochain fait que nous voulons établir est que l’ensemble vers lequel toutes les solutions sont attirées ont un volume nul ! Encore une fois, ceci est évident lorsque $r<1$ puisque, dans ce cas, toutes les solutions convergent vers l’origine qui a un volume nul. Pour les valeurs pour lesquelles on observe l’attracteur de Lorenz, c’est-à-dire lorsque $\sigma=10, r=28,b=8/3$, ce n’est pas du tout évident. Pour prouver ce fait, nous devons répondre à une question générale de base : comment les volumes évoluent-ils ? Plus précisément, prenons un système tridimensionnel quelconque
$$
\dot\boldsymbolx=\boldsymbolf(\boldsymbolx)
$$
où $\boldsymbolf(\boldsymbolx)=(f(\boldsymbolx),g(\boldsymbolx),h(\boldsymbolx))$ et $\boldsymbolx=(x,y,z)$. Prenons une région arbitraire $D$ (avec une frontière lisse) dans $\mathbbR^3$. Considérons les points de $D$ comme des conditions initiales pour les trajectoires, et laissons-les évoluer. Au temps $t$, on obtient un ensemble $D(t)$. Soit $V(t)$ le volume de $D(t)$. Alors le théorème de Liouville affirme que
$$
\dotV=\int_D(t) \textdiv(\boldsymbolf)\, \textdx\, \textdy\, \textdz
$$
où
$$
\textdiv(\boldsymbolf)= \frac\partial f\partial x+\frac\partial g\partial y+\frac\partial h\partial z
$$
est la divergence du champ de vecteurs $\boldsymbolf$.
Appliquons la formule précédente pour les équations de Lorenz. Cela donne immédiatement
$$
\dotV=-(\sigma+1+b) V
$$
puisque la divergence est la constante $-(\sigma+1+b)$. En résolvant cette simple équation, on obtient
$$
V(t)=e^-(\sigma+1+b)tV(0)
$$
où $V(0)$ est le volume de $D$. La conclusion est que tout volume dans l’espace des phases doit se réduire exponentiellement à $0$. Ainsi, en particulier, l’attracteur de Lorenz a un volume nul.
Comme vous le savez, un point, une courbe ou une surface a un volume nul dans $\mathbbR^3$. L’attracteur de Lorenz ressemble à une paire de surfaces qui fusionnent en une seule dans la partie inférieure. Mais ceci est difficile à croire au vu de l’unicité des solutions de l’équation différentielle : les trajectoires ne peuvent ni se croiser ni se confondre ! En fait, une étude plus approfondie révélerait que l’attracteur n’est pas une surface mais un ensemble fractal, dont la dimension de Hausdorff s’avère numériquement être d’environ $2,06$ (personne n’a pu jusqu’à présent le prouver mathématiquement). Si l’attracteur était une surface, la dimension de Hausdorff coïnciderait avec la dimension habituelle et serait égale à $2$.
La conclusion stupéfiante est la suivante : lorsque $\sigma=10, r=28,b=8/3$, toutes les solutions du système de Lorenz sont confinées dans un ensemble borné de volume nul sur lequel elles parviennent à se déplacer éternellement, et leurs trajectoires ne se croisent pas ou ne croisent aucune des autres trajectoires. Ainsi, l’attracteur de Lorenz est vraiment un objet étrange et extrêmement complexe !
L’expérience numérique interactive complète.
Vous pouvez jouer ici avec le système de Lorenz en modifiant les trois paramètres dans de larges plages.
Voici un petit échantillon de ce que l’on peut observer si l’on fixe $\sigma=10$, $b=8/3$, et que l’on regarde la dépendance de $r$ des solutions du système de Lorenz :
- Pour $0 < r < 1$, l’origine est le seul point fixe et toutes les solutions sont attirées vers lui, comme nous l’avons prouvé plus haut. A $r=1$, une bifurcation en fourche a lieu : pour $r$ juste un peu au-dessus de ce seuil (disons égal à $1,5$), l’origine perd sa stabilité et deux points fixes attractifs apparaissent.
- A la valeur $r=13.93$, deux cycles limites répulsifs apparaissent, chacun encerclant un des deux points fixes symétriques. En augmentant $r$, mais en restant en dessous de la valeur $r$ approximativement $24$, on observe que ces cycles se réduisent à ces points fixes.
- Au paramètre $r^*=470/19$ approximativement $24,74$ (voir la formule pour $r^*$ ci-dessus), il y a une bifurcation de Hopf sous-critique : les cycles limites répulsifs fusionnent avec le point fixe attractif et les rendent répulsifs.
- Au paramètre $r=28$, on observe l’attracteur de Lorenz que nous avons déjà vu auparavant.
- En diminuant $r$ dans l’intervalle $[99,101]$, on peut observer un type de bifurcation que nous n’avons pas encore vu : la bifurcation de doublement de période : il y a un cycle limite attractif dont la période double lorsque nous diminuons $r$ dans un petit intervalle. Lorsque nous quittons cet intervalle en diminuant encore $r$, la période précédente double, et ainsi de suite. En fait, il existe une série infinie de bifurcations de doublement de période !
- Prenons par exemple $r=99.96$. Nous obtenons une trajectoire fermée nouée. On l’appelle un nœud de tore $T(3,2)$, ce qui signifie que le fil du nœud fait 2 fois le tour du tore et 3 fois le trou du tore).
Pour conclure sur le système de Lorenz, disons que le comportement du système de Lorenz lorsque le paramètre $r$ augmente fait l’objet de recherches contemporaines en mathématiques, et que nous sommes loin de comprendre tous les phénomènes qui se produisent lorsque les paramètres changent.