Vous êtes en train de lire le premier livre électronique contenant des expériences numériques interactives intégrées. Elles vous permettront de visualiser le comportement des équations et des modèles que nous allons étudier, et d’expérimenter avec eux. Une caractéristique unique de cet eBook est que vous n’aurez pas à écrire de programme informatique, ni à installer de logiciel, puisque les expériences numériques sont intégrées dans le texte.
Cet ebook se concentre sur les processus qui peuvent être mathématiquement idéalisés comme des équations différentielles. Ces équations restent un outil majeur avec lequel les scientifiques réalisent des modèles mathématiques de systèmes réels en physique, biologie, écologie, chimie, économie, etc. Même si vous pouvez réduire la description d’un système réel à l’étude mathématique d’une équation différentielle, ce ne sera pas la fin de l’histoire car la plupart des équations différentielles intéressantes sont non linéaires. Cela implique que, la plupart du temps, nous ne sommes pas en mesure d’écrire les solutions en termes de fonctions élémentaires.
Heureusement, des méthodes qualitatives ont été développées, donnant une idée générale du comportement de toutes les solutions sans les connaître explicitement. Ces méthodes ont été initiées par Henri Poincaré à la fin du 19ème siècle. L’idée principale est de visualiser toutes les solutions d’une équation différentielle en une seule fois en considérant un espace abstrait approprié, pour obtenir ce qu’on appelle un « portrait de phase ». Toute la puissance de cette approche a été révélée avec l’avènement des logiciels graphiques qui sont devenus largement disponibles à partir des années 1980.
La conséquence dans l’enseignement des équations différentielles a été énorme puisque les étudiants pouvaient voir les solutions d’une équation différentielle, saisissant ainsi le comportement global du modèle associé. En particulier, l’utilisation de progiciels graphiques a permis d’enseigner les équations différentielles à des étudiants non orientés vers la mathématique et principalement intéressés par la modélisation.
Cette révolution a également eu un impact sur les manuels modernes d’équations différentielles qui contiennent de nombreux graphiques accrocheurs et des vues instantanées d’expériences informatiques. Dans certains d’entre eux, le lecteur est invité à acheter et à installer un progiciel de calcul sur son ordinateur, et à utiliser les fichiers de feuilles de travail fournis par les auteurs.
Ce que nous proposons ici est un grand pas en avant : vous lisez simplement le texte et vous expérimentez de manière interactive avec les modèles dans le livre électronique. Nous espérons que vous apprécierez cette nouvelle expérience
Nous tenons à remercier l’École polytechnique de Paris pour son soutien et sa générosité, ainsi que la Fondation Patrick et Lina Drahi, qui nous a offert des conditions de travail optimales.