La cascade de doublements de période : Mitchell Feigenbaum, Pierre Coullet (…)

En 1978, Pierre Coullet, jeune chercheur au CNRS à l’Université de Nice et Charles Tresser, étudiant en 3ème cycle, s’intéressent au mécanisme de transition vers la turbulence et en particulier à sa modélisation par des systèmes dynamiques simples, comme l’itération d’une application de l’intervalle. Comme pour le modèle de Hénon, l’exploration numérique a joué un grand rôle dans leurs travaux. La nouveauté réside dans une approche « interactive » de l’expérimentation numérique : la visualisation du résultat obtenu en « temps réel » pour une valeur du paramètre permet de faire de nouveaux choix des valeurs des paramètres et de se forger ainsi une intuition du phénomène.

En même temps que Mitchell Feigenbaum, et indépendamment de lui, ils ont eu l’idée d’appliquer les techniques du groupe de renormalisation aux problèmes de la transition vers le chaos pour les applications « unimodales » (c-à-d avec une seule « bosse ») de l’intervalle. Plus précisément ils montrent que la transition vers le chaos pour les applications unimodales se fait par une cascade de doublements de période qui possède des propriétés géométriques universelles. Par exemple les valeurs du paramètre pour lesquelles on assiste à un doublement de période s’accumulent avec une raison géométrique indépendante du modèle d’applications que l’on étudie.

Au moyen d’un ordinateur HP9825 et d’un traceur XY, Coullet et Tresser ont pu visualiser les itérations de l’application logistique, changer de paramètre et visualiser immédiatement le résultat de ce changement. Le langage HPL, proche du Basic, permettait de modifier la valeur d’une variable au clavier, sans interrompre le programme. Notons que Feigenbaum a de son côté utilisé la calculatrice programmable HP65, le même modèle que Michel Hénon pour son attracteur.

On peut se demander s’il est possible d’observer une transition vers le chaos par une cascade de de doublements de période dans une vraie expérience de physique. La réponse est positive : en 1979, Albert Libschaber observa la convection dans l’helium liquide, en augmentant peu à peu le paramètre de contrôle que constitue la différence de température entre le bas et la haut de la cellule de convection. Il observa effectivement une transition vers le chaos suivant ce schéma.

Terminons en mentionnant que la reconnaissance accordée à Coullet et Tresser n’est pas à la hauteur de leur véritable contribution. Une analyse de cet état de fait est proposée dans la thèse de L. Petitgirard (chapitre 5).

La cascade de doublements de période : Mitchell Feigenbaum, Pierre Coullet & Charles Tresser