Nous étudions ici le modèle le plus simple décrivant deux populations qui sont en compétition pour la même source de nourriture limitée ou qui, d’une manière ou d’une autre, inhibent la croissance de l’autre. Par exemple, la compétition peut porter sur le territoire qui est directement lié aux ressources alimentaires.
Le modèle est donné par
$$ \begin{cases} \dot{x}=r_1 \, x\left(1-\frac{x}{K_1}-\frac{b_{12}y}{K_1}\right) \\ \dot{y}=r_2\, y\left(1-\frac{y}{K_2}-\frac{b_{21}x}{K_2}\right) \end{cases} $$
où $r_1,r_2,K_1,K_2,b_{12},b_{21}$ sont des paramètres positifs.En l’absence de l’autre, chaque population a une croissance logistique. Les paramètres $b_{12}$ et $b_{21}$ mesurent l’effet de compétition de la population $2$ sur la population $1$, et vice versa. Ils ne sont généralement pas égaux.
Une première étape dans l’analyse de ce système consiste à l’adimensionner. Nous obtenons les équations suivantes, cette fois avec seulement trois paramètres :
$$ \begin{cases} \dot{x}=x\, (1-x-a_{12}y) \\ \dot{y}=\rho y\, (1-y-a_{21}x)\, . \end{cases} $$
(Plus de détails sur l’obtention de cette forme ci-dessous.)Pour les mêmes raisons que pour le modèle précédent, le quadrant positif est invariant. Il y a toujours
trois points fixes, à savoir
$$ (0,0), (1,0), (0,1). $$
La partie cruciale des nullclines sont les droites
$$ 1-x- a_{12} y=0,\,1-y-a_{21} x=0. $$
Lorsqu’elles se croisent dans le quadrant positif, nous obtenons un quatrième point fixe, à savoir
$$ (\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{1-a_{12}}{1-a_{12}a_{21}},\frac{1-a_{21}}{1-a_{12}a_{21}} \right)\, \cdot $$
(Nous supposons que $a_{12}a_{21}\neq 1$.)
On peut observer trois régimes qualitativement différents :
- Lorsque les droites ci-dessus ne se croisent pas, ce qui signifie que soit $1/a_{12}>1,1/a_{21}<1$ soit l’inverse. Dans le premier cas, la population $2$ tend vers l’extinction, et la population $1$ tend vers sa capacité de charge. Dans le second, les choses se passent dans l’autre sens. Ainsi, une des populations est dominante.
- Lorsque les droites ci-dessus se croisent, et $1/a_{12}>1,1/a_{21}>$. Le point fixe $(\bar{x},\bar{y})$ semble attirer toutes les solutions commençant dans le quadrant positif. Nous avons une coexistence stable.
- Lorsque les droites ci-dessus se croisent, et $1/a_{12}<1,1/a_{21}<1$. Le point fixe $(\bar{x},\bar{y})$ devient répulsif : il est instable aux petites perturbations. De plus, chacun des points fixes $(1,0)$ et $(0,1)$ possède un bassin d’attraction. On peut en déduire qu’il existe une courbe, une séparatrice, qui divise le quadrant positif en deux régions non superposées. Il est tentant de supposer que le point fixe $(\bar{x},\bar{y})$ est une selle dont le collecteur instable est la séparatrice.
La conclusion est que nous avons un régime bistable : en fonction de la condition initiale, l’une ou l’autre des populations s’élimine.
Nous pouvons confirmer une partie des informations ci-dessus en linéarisant autour de chaque point fixe. Nous laissons au lecteur le soin de faire cet exercice. Lorsque le point fixe $(\bar{x},\bar{y})$ existe et est attractif, tout ce que nous pouvons dire en utilisant le système linéarisé est que, localement, c’est un puits. Cependant, l’expérience numérique montre clairement que $(\bar{x},\bar{y})$ est globalement attractif. Nous verrons plus loin comment le confirmer mathématiquement à l’aide d’une fonction de Lyapunov.
Plus de détails sur l’adimensionnement. Le point de départ est de mesurer chaque abondance de population en la comparant à la capacité de charge correspondante. On effectue donc la remise à l’échelle $x$ à $x/K_1$ et $y$ à $y/K_2$. Ensuite, on considère le nouveau temps $r_1 t$, et on pose
$$\rho=\frac{r_2}{r_1},\, a_{12}=b_{12}\frac{K_2}{K_1},\, a_{21}=b_{21}\frac{K_1}{K_2}.$$