Partie II : Systèmes bidimensionnels : écoulements dans le plan
Cette partie est consacrée à l’étude des systèmes ayant un espace des phases à deux dimensions. Nous allons revisiter les systèmes bidimensionnels de la partie d’ouverture avec un regard nouveau grâce aux concepts et techniques que nous allons introduire. Nous verrons également de nouveaux exemples provenant de domaines variés.
Comme nous l’avons vu, les solutions d’un système unidimensionnel $\dot{x}=f(x)$ se comportent de manière simple car elles sont obligées de se déplacer de manière monotone ou de rester constantes. Dans les systèmes à plus haute dimension, les solutions peuvent suivre des trajectoires qui ont une plus grande marge de manœuvre, ce qui implique une gamme plus large de comportements dynamiques. Nous nous concentrons ici sur les systèmes bidimensionnels pour lesquels cette gamme est plutôt bien comprise. Plus tard, nous verrons que l’ajout d’une ou plusieurs dimensions apporte de nouveaux comportements dynamiques qui sont impossibles en dimension deux.
La forme générale d’un système bidimensionnel est la suivante
$$ \begin{cases} \dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y) \end{cases} $$
où $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ et $f,g :\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$. En notation vectorielle, ceci peut être écrit comme suit$$ \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) $$
où $\boldsymbol{x}=(x,y)$ et $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=(f(\boldsymbol{x}),g(\boldsymbol{x}))$. Comme nous l’avons vu dans la première partie, $\boldsymbol{x}$ représente un point dans le plan $xy$ et $\dot{\boldsymbol{x}}$ est le vecteur vitesse en ce point qui est déterminé par le champ de vecteurs $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$. Ce champ de vecteurs peut être considéré comme donnant la vitesse d’un fluide imaginaire en chaque point. Alors, une particule lâchée à la position $\boldsymbol{x}_0$ à un certain temps $t_0$ dans ce fluide suivra une certaine trajectoire qui correspond à la courbe tracée par la solution $\boldsymbol{x}(t)$ telle que $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}_0$. Ceci est rendu précis et rigoureux par une extension du théorème fondamental d’existence et d’unicité énoncé pour les systèmes unidimensionnels.