Le portrait de phase d’une équation donnée $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ est un tracé de trajectoires typiques dans le plan $xy$. Pour la plupart des exemples intéressants rencontrés dans les applications, il n’y a aucun espoir de trouver les trajectoires de manière analytique. Et même lorsque des formules explicites sont disponibles (ce qui arrive très rarement), elles sont souvent trop compliquées pour donner une idée précise. Nous allons plutôt essayer de déterminer le comportement qualitatif des solutions. Les expériences numériques nous permettront d’explorer et d’observer certains phénomènes que nous analyserons ensuite, plus ou moins rigoureusement, en fonction de leur niveau de difficulté.
Esquisser le portrait de phase
Les deux caractéristiques fondamentales de tout portrait de phase sont :
- les points fixes qui sont les points $\boldsymbol{x}$ où $\boldsymbol{f} (\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$ ;
- des isoclines spéciales, à savoir les « nulle-clines ». Elles sont définies comme les courbes où soit $\dot{x}=0$ soit $\dot{y}=0$. Les nulle-clines indiquent où le champ de vecteurs est purement horizontal ou vertical. Par définition, les points fixes se trouvent à l’intersection des nulle-clines. Ils divisent également le plan en régions où $\dot{x}$ et $\dot{y}$ ont un signe fixé.
Nous verrons comment nous pouvons approximer le portrait de phase près d’un point fixe par celui d’un système linéaire correspondant. Nous étendrons ainsi ce que nous avons développé précédemment pour les systèmes unidimensionnels.
Renverser le temps : un jeu d’enfant !
Considérons une équation $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ que nous écrivons sous la forme suivante
$$ \frac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}). $$
Rappelons que$$ \dot{\boldsymbol{x}}=\frac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}. $$
Nous voulons inverser le temps, ce qui signifie que nous changeons $t$ en $-t$. Nous voyons qu’il est équivalent de changer la direction du champ de vecteurs car$$ \frac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}(-t)}=-\frac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=-\,\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}). $$
Ceci montre notamment qu’il suffit de « regarder vers le futur », puisque pour savoir ce qui arrive dans le passé, il suffit de considérer le champ de vecteurs $-\boldsymbol{f}$.Écoulement de « gouttes » de conditions initiales
Jusqu’à présent, nous avons mis l’accent sur les solutions des équations différentielles en tant que fonctions du temps. Nous le mettons maintenant sur la dépendance en les conditions initiales. Soit $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ une équation différentielle et imaginez que vous dessinez une forme qui détermine une région dans le plan $xy$ (un rectangle, par exemple) et que vous résolvez l’équation, en prenant comme condition initiale chaque point de cette région. En utilisant notre image d’un fluide imaginaire dont la vitesse au point $\boldsymbol{x}$ est donnée par $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$, nous sommes en train de lâcher une « goutte d’encre » et regardons comment elles évolue. Cette goutte se déplacera et sera probablement déformée, comme l’illustrent les exemples suivants.
Vous pouvez dessiner une goutte de n’importe quelle forme avec votre souris et observer comment elle évolue. Vous pouvez également inverser le temps en transformant $t$ en $-t$.