Nous présentons divers exemples où des cycles limites attractifs apparaissent.
Nous étendons ici ce que nous avons vu sur les bifurcations dans les systèmes unidimensionnels. En dimension deux, nous constatons toujours que les points fixes peuvent être créés ou détruits ou déstabilisés lorsque nous faisons varier un paramètre. Mais il y a une nouveauté : des solutions périodiques sont possibles, et il existe des moyens de les activer ou de les désactiver en réglant un paramètre. C’est ce qu’on appelle la bifurcation de Poincaré-Andronov-Hopf.
Soulignons que nous ne faisons qu’ouvrir la porte d’un vaste domaine sur lequel des livres entiers sont écrits.
Bifurcation du nœud de selle & d’un pendule avec couple
Cette bifurcation est le mécanisme de base pour la création et la destruction des points fixes. Le système suivant en est l’exemple prototypique :
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu-x^2\ \dot{y}=-y \end{cases} $$
où $\mu\in [-1,1]$. Nous avons des équations découplées qui sont faciles à analyser. La première équation n’est rien d’autre que l’exemple de bifurcation selle-nœud que nous avons vu en dimension un. La deuxième équation décrit des solutions exponentiellement amorties dans la direction $y$. En d’autres termes, cette bifurcation est un événement fondamentalement unidimensionnel.
Exemple. Nous revenons au pendule amorti. Nous ajoutons une nouvelle caractéristique : un couple constant $\mu>0$ est appliqué au système (concrètement, imaginez de l’air soufflé par une paille qui pousse sur les ailettes d’un volant fixé à la tige, au niveau du pivot). On obtient alors les équations
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=\mu-\sin x -\lambda y. \end{cases} $$
Bifurcation transcritique
Dans cette bifurcation, il y a un échange de stabilité entre deux points fixes. Les équations canoniques pour cela sont
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-x^2\ \dot{y}=-y \end{cases} $$
où $\mu\in [-1,1]$. Encore une fois, ce système est construit à partir du cas unidimensionnel en ajoutant un mouvement exponentiellement amorti dans la direction $y$.
Bifurcation pitchfork & un bob dans un cerceau tournant.
Dans cette bifurcation, un point fixe se divise en deux autres points fixes lorsqu’un paramètre passe une valeur critique. Voici un exemple prototypique :
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-x^3\ \dot{y}=-y \end{cases} $$
où $\mu\in [-1,1]$.
Cette bifurcation est dite ‘supercritique&rsquo ; car l’apparition des points fixes symétriques se produit pour $\mu$ au-delà de la valeur critique $\mu=0$. Nous examinons maintenant la bifurcation en fourche sous-critique, qui est en quelque sorte la version inversée de la bifurcation supercritique. Cette fois, nous passons d’une situation où il existe un unique point fixe instable à une situation où il devient stable et est accompagné de deux points fixes instables.
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x+x^3\ \dot{y}=-y \end{cases} $$
où $\mu\in [-1,1]$.
Exemple : un bob dans un cerceau en rotation. Considérons un bob de masse $m$ contraint sur un cerceau circulaire. Des forces gravitationnelles et de frottement, ainsi que des forces de contrainte qui le maintiennent sur le cerceau, agissent sur lui. Le cerceau lui-même est mis en rotation autour d’un axe vertical avec une vitesse angulaire constante $\omega$.
En utilisant la loi de Newton, on peut montrer que
$$ \ddot{\theta}=\omega^2 \cos\theta \sin\theta-\omega_0^2\sin\theta -\frac{\lambda}{m} \dot{\theta} $$
où $g$ est l’accélération de la gravité et $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{\ell}}$. On prend en compte les effets de friction par le terme $-\lambda \dot{\theta}$, où $\lambda\geq 0$. Le cas $\lambda=0$ correspond à l’absence de friction. On peut choisir les unités de telle sorte que $m=g=\ell=1$, d’où $\omega_0=1$.
En fixant $x=\theta$ et $y=\dot{\theta}$ on obtient le système planaire
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}= \omega^2 \sin x \cos x- \sin x -\lambda y. \end{cases} $$
Observez que lorsque $\omega=0$, on retrouve les équations du pendule de base. D’où
Nous allons observer que la valeur $\omega_c=1$ est la vitesse de rotation critique au-delà de laquelle le balancier s’élève, bien que nous partions de la position de repos. Dans le langage des bifurcations, le système subit une bifurcation supercritique en fourche. Lorsque $\omega<1$, il n’y a que deux points fixes, à savoir $(0,0)$ et $(\pi,0)$. Lorsque $\omega>1$, il existe quatre points fixes, à savoir $(0,0)$, $(\pi,0)$, $(-\arccos\big(\frac{1}{\omega^2}\big),0)$ et $(\arccos\big(\frac{1}{\omega^2}\big),0)$. En linéarisant autour de $(\pi,0)$, on peut vérifier que l’on a une selle pour toutes les valeurs de $\omega$. Ce point fixe ne joue aucun rôle dans la bifurcation.
Création et destruction de cycles limites, et théorème de bifurcation de Hopf.
Nous présentons un outil de diagnostic qui peut être utilisé pour établir l’existence d’un cycle limite, à savoir le théorème de bifurcation de Hopf. Dans une bifurcation de Hopf (ou Poincaré-Andronov-Hopf), une source devient un puits, ou vice-versa, lorsqu’une paire de valeurs propres complexes conjuguées de la linéarisation au point fixe croise l’axe imaginaire du plan complexe. En d’autres termes, il existe une valeur critique pour laquelle le champ vectoriel linéarisé a une trace nulle et un déterminant positif. Sous des hypothèses raisonnablement génériques sur le système, on peut s’attendre à voir un cycle limite de faible amplitude se ramifier à partir du point fixe.
Considérons le système
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-y -x(x^2+y^2)\\ \dot{y}=x+\mu y - y(x^2+y^2) \end{cases} $$
où $\mu$ est un paramètre.
Analysons ce système. Nous commençons par linéariser le système en $(0,0)$, qui est le seul point fixe. Cela revient à ne garder que les termes linéaires :
$$ \begin{pmatrix} \dot{x}- \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mu & -1\ 1 & \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix}. $$
Le déterminant de la matrice est $1+\mu^2$, qui est toujours $>0$, et sa trace est $2\mu$. Les valeurs propres sont
$$ \lambda_{\pm}=\mu\pm i. $$
Par conséquent, lorsque $\mu$ passe par zéro, les valeurs propres croisent l’axe imaginaire, et l’origine passe du statut de puits en spirale à celui de source en spirale.
Ainsi, nous avons compris localement autour de l’origine le comportement des solutions. En passant aux coordonnées polaires ($x=r\cos\theta$, $y=r \sin\theta$), nous pouvons compléter l’image. En effet, nous obtenons les équations découplées suivantes
$$ \begin{cases} \dot{r}=r(\mu-r^2)\\ \dot{\theta}=1. \end{cases} $$
La deuxième équation nous indique que les solutions tournent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à vitesse angulaire constante. La première équation est également facile à comprendre. Pour $\mu<0$, toutes les solutions tendent vers l’origine. Pour $\mu>0$, les solutions tournent vers l’intérieur pour $r>\sqrt{\mu}$ et vers l’extérieur pour $r<\sqrt{\mu}$. Le cercle de rayon $r=\sqrt{\mu}$ est bien sûr le cycle limite. Nous laissons au lecteur le soin d’inventer une version du système en rotation dans le sens des aiguilles d’une montre.
Le système que nous venons d’étudier est en quelque sorte l’exemple prototypique d’une bifurcation de Hopf supercritique. Il existe également dans une ‘version sous-critique’ :
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-y + x(x^2+y^2)\\ \dot{y}=x+\mu y +y(x^2+y^2). \end{cases} $$
Cette fois, un cycle limite répulsif entourant une source présente pour des valeurs négatives de $\mu$ s’effondre à la valeur critique $\mu=0$ pour laisser un puits pour des valeurs positives de $\mu$.
Les deux exemples précédents ont été cuisinés à partir de notre modèle-jouet de cycle limite. Heureusement, il existe un théorème général nous indiquant comment détecter une bifurcation de Hopf. Nous en donnons ici une version douce. Avant d’énoncer le théorème, précisons le cadre. Considérons un système
$$ \begin{cases} \dot{x}=f(x,y,\mu) \dot{y}=g(x,y,\mu) \end{cases} $$
où $\mu$ est un paramètre réel. Pour simplifier, supposons que les fonctions $f$ et $g$ sont lisses (toutes les dérivées de $f$ et $g$ en $x,y$ et $\mu$ existent). Supposons qu’il existe $\mu^*$ (le paramètre de bifurcation) tel que $(\bar{x}(\mu^*),\bar{y}(\mu^*))$ est un point fixe pour le système lorsque $\mu=\mu^*$. Par le théorème de la fonction implicite, il existe une courbe lisse de points fixes $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$ dans un intervalle
contenant la valeur $\mu=\mu^*$.
Théorème de bifurcation d’Andronov-Hopf. Supposons qu’au voisinage de $\mu=\mu^*$, la matrice jacobienne du champ de vecteurs évalué en $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$ a
valeurs propres de la forme
$$ a(\mu)\pm i b(\mu) $$
avec
$$ a(\mu^*)=0\quad\text{et}\quad b(\mu^*)\neq 0. $$
Supposons également que les parties réelles des valeurs propres changent de signe lorsque l’on fait varier $\mu$ à travers $\mu^*$, c’est-à-dire ,
$$ \frac{\text{d}a}{\text{d}\mu}(\mu^*)\neq 0. $$
Compte tenu de ces hypothèses, les possibilités suivantes se présentent :
- Il existe un intervalle $\mu^*<\mu<\mu_1$ tel qu’un cycle limite entoure $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$. En faisant varier $\mu$, le diamètre du cycle limite change proportionnellement à $\sqrt{|\mu-\mu^*|}$. Il n’existe aucune autre trajectoire fermée au voisinage de $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$. Ce cas est appelé bifurcation supercritique.
- Il existe un intervalle $\mu_0<\mu<\mu^*$ tel qu’une conclusion similaire au cas précédent est valable. Ce cas est appelé bifurcation sous-critique.
Plusieurs remarques s’imposent :
- Le théorème ne dit quelque chose que localement autour du point fixe. Par exemple, dans le cas supercritique, le cycle limite disparaît peut-être lorsque $\mu$ est supérieur à $\mu_{1}$, peut-être pas.
- Il existe en fait un troisième scénario possible : une infinité de cycles concentriques entourant le point fixe peuvent naître à la valeur $\mu=\mu^*$. Mais cette situation n’est pas générique.
- Il existe une version plus puissante du théorème dont la conclusion est que le système se comporte réellement comme nos deux exemples inventés ci-dessus, dans le sens où il est topologiquement équivalent à l’un d’entre eux.
topologiquement équivalent à l’un d’entre eux (jusqu’au sens dans lequel les solutions tournent). - Nous avons présenté le théorème de bifurcation d’Andronov-Hopf pour les systèmes à deux dimensions. En fait, il existe une version appropriée applicable aux systèmes de dimension supérieure. Cela rend ce théorème très attractif (comparer avec le théorème de Poincaré-Bendixson qui ne fonctionne qu’en dimension deux).
Un exemple de bifurcations de cycles.
Tous les exemples précédents de bifurcations sont locaux dans le sens où ils se produisent dans le petit voisinage d’un point fixe. Nous montrons ici des exemples de bifurcations globales impliquant des cycles limites.
Considérons le système bidimensionnel (donné en coordonnées polaires)
$$ \begin{cases} \dot{r}=\mu r + r^3-r^5 \dot{\theta}=\omega + b r^2 \end{cases} $$
où $\mu<0$ sera le paramètre variable. Comme nous allons le voir, lorsque $\mu$ franchit $-1/4$, il y a ce qu’on appelle une bifurcation saddle-node des cycles, à laquelle $(0,0)$ ne participe pas (il reste un puits tout du long). En observant ce qui se passe en diminuant $\mu$, on voit un cycle limite répulsif et un cycle limite attractif qui se heurtent et disparaissent.