Aquí ampliamos lo que hemos visto sobre las bifurcaciones en sistemas unidimensionales. En dimensión dos, seguimos viendo que los puntos fijos pueden crearse o destruirse o desestabilizarse a medida que variamos un parámetro. Pero hay una novedad: las soluciones periódicas son posibles, y hay formas de activarlas o desactivarlas afinando un parámetro. Es la llamada bifurcación de Poincaré-Andronov-Hopf.
Subrayemos que acabamos de abrir la puerta de un amplio campo sobre el que se han escrito libros enteros.
Bifurcación de nodo de silla de montar y péndulo con torsión
Esta bifurcación es el mecanismo básico para la creación y destrucción de puntos fijos. El siguiente sistema es el ejemplo prototípico:
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu-x^2\\ \dot{y}=-y \end{cases} $$
donde $\mu\in [-1,1]$. Tenemos ecuaciones desacopladas que son fáciles de analizar. La primera ecuación no es más que el ejemplo de bifurcación de nudo de silla que hemos visto en dimensión uno. La segunda ecuación describe soluciones exponencialmente amortiguadas en la dirección $y$. En otras palabras, esta bifurcación es un acontecimiento fundamentalmente unidimensional.
Ejemplo. Volvemos al péndulo amortiguado. Añadimos una novedad: se aplica al sistema un par constante $\mu>0$ (concretamente, imaginemos aire soplado a través de una pajita que empuja las aspas de un molinete fijado en la varilla, a la altura del pivote). Esto da las ecuaciones
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=\mu-\sin x -\lambda y. \end{cases} $$
Transcritical bifurcation
En esta bifurcación se produce un intercambio de estabilidad entre dos puntos fijos. Las ecuaciones canónicas para esto son
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-x^2\\ \dot{y}=-y \end{cases} $$
donde $\mu\in [-1,1]$. De nuevo, este sistema se construye a partir del caso unidimensional añadiendo un movimiento exponencialmente amortiguado en la dirección $y$.
Bifurcación de horquilla y una bobina en un aro giratorio
En esta bifurcación, un punto fijo se divide en otros dos puntos fijos cuando un parámetro supera un valor crítico. He aquí un ejemplo prototípico:
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-x^3\\ \dot{y}=-y \end{cases} $$
where $\mu\in [-1,1]$.Esta bifurcación se dice ‘supercrítica’ porque la aparición de los puntos fijos simétricos surge para $\mu$ por encima del valor crítico $\mu=0$. Veamos ahora la bifurcación de horquilla subcrítica, que es algo así como la ‘versión invertida’ de la supercrítica. Esta vez, pasamos de una situación en la que hay un único punto fijo inestable a una situación en la que se hace estable y va acompañada de dos puntos fijos inestables.
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x+x^3\\ \dot{y}=-y \end{cases} $$
where $\mu\in [-1,1]$.Ejemplo: una bola en un aro giratorio. Consideremos una bola de masa $m$ constreñida sobre un aro circular. Sobre él actúan fuerzas gravitatorias y de rozamiento, así como fuerzas de restricción que lo mantienen sobre el aro. El aro gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular constante $\omega$.
Utilizando la ley de Newton, se puede demostrar que
$$ \ddot{\theta}=\omega^2 \cos\theta \sin\theta-\omega_0^2\sin\theta -\frac{\lambda}{m} \dot{\theta} $$
donde $g$ es la aceleración de la gravedad y $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{\ell}}$. Tenemos en cuenta los efectos de la fricción mediante el término $-\lambda \dot{\\theta}$, donde $\lambda\geq 0$. El caso $\lambda=0$ corresponde a la ausencia de fricción. Podemos elegir las unidades de forma que $m=g=\ell=1$, de donde $\omega_0=1$.
Fijando $x=\theta$ e $y=\dot{\theta}$ se obtiene el sistema plano
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}= \omega^2 \sin x \cos x- \sin x -\lambda y. \end{cases} $$
Obsérvese que cuando $\omega=0$, recuperamos las ecuaciones del péndulo básico. Por lo tanto
Vamos a observar que el valor $\omega_c=1$ es la velocidad de giro crítica por encima de la cual la bobina se eleva, aunque partamos de la posición de reposo. En el lenguaje de las bifurcaciones, el sistema sufre una bifurcación supercrítica en horquilla. Cuando $\omega<1$, sólo hay dos puntos fijos, a saber, $(0,0)$ y $(\pi,0)$. Cuando $\omega>1$, hay cuatro puntos fijos, a saber, $(0,0)$, $(\pi,0)$, $(-\arccos\big(\frac{1}{\omega^2}\big),0)$ y $(\arccos\big(\frac{1}{\omega^2}\big),0)$. Linealizando sobre $(\pi,0)$, se puede comprobar que tenemos una silla de montar para todos los valores de $\omega$. Este punto fijo no juega ningún papel en la bifurcación.
Creación y destrucción de ciclos límite y teorema de bifurcación de Hopf
Presentamos una herramienta de diagnóstico que puede utilizarse para establecer la existencia de un ciclo límite, a saber, el teorema de bifurcación de Hopf. En una bifurcación de Hopf (o Poincaré-Andronov-Hopf), una fuente se convierte en un sumidero, o viceversa, a medida que un par de valores propios complejos conjugados de la linealización en el punto fijo cruzan el eje imaginario del plano complejo. En otras palabras, existe un valor crítico para el cual el campo vectorial linealizado tiene traza cero y determinante positivo. Bajo suposiciones razonablemente genéricas sobre el sistema, se puede esperar ver un ciclo límite de pequeña amplitud que se ramifica desde el punto fijo.
Considere el sistema
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-y -x(x^2+y^2)\\ \dot{y}=x+\mu y - y(x^2+y^2) \end{cases} $$
donde $\mu$ es un parámetro.
Analicemos este sistema. Empezamos linealizando el sistema en $(0,0)$, que es el único punto fijo. Esto equivale a mantener sólo los términos lineales:
$$ \begin{pmatrix} \dot{x}\\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mu & -1\\ 1 & \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. $$
El determinante de la matriz es $1+\mu^2$, que siempre es $>0$, y su traza es $2\mu$. Los valores propios son
$$ \lambda_{\pm}=\mu\pm i. $$
Por lo tanto, a medida que $\mu$ aumenta hasta cero, los valores propios cruzan el eje imaginario, y el origen pasa de ser un sumidero espiral a ser una fuente espiral.
Así, entendemos localmente alrededor del origen el comportamiento de las soluciones. Pasando a coordenadas polares ($x=r\cos\theta$, $y=r \sin\theta$), podemos completar la imagen. En efecto, obtenemos las ecuaciones desacopladas
$$ \begin{cases} \dot{r}=r(\mu-r^2)\\ \dot{\theta}=1. \end{cases} $$
La segunda ecuación nos dice que las soluciones giran en sentido contrario a las agujas del reloj a velocidad angular constante. Para $\mu<0$, todas las soluciones tienden hacia el origen. Para $\mu>0$, las soluciones giran en espiral hacia dentro para $r>\sqrt{\mu}$ y hacia fuera para $r
El sistema que acabamos de estudiar es, en cierto sentido, el ejemplo prototípico de una bifurcación de Hopf supercrítica. También tiene una ‘versión subcrítica’:
$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-y + x(x^2+y^2)\\ \dot{y}=x+\mu y +y(x^2+y^2). \end{cases} $$
Esta vez, un ciclo límite de repulsión que rodea una fuente presente para valores $\mu$ negativos colapsa en el valor crítico $\mu=0$ para dejar un sumidero para valores $\mu$ positivos.
Los dos ejemplos anteriores se cocinaron a partir de nuestro modelo de juguete de ciclo límite. Afortunadamente, existe un teorema general que nos dice cómo detectar una bifurcación de Hopf. Damos aquí una versión suave del mismo. Antes de enunciar el teorema, precisemos el escenario. Consideremos un sistema
$$ \begin{cases} \dot{x}=f(x,y,\mu)\\ \dot{y}=g(x,y,\mu) \end{cases} $$
donde $\mu$ es un parámetro real. Por simplicidad, supongamos que las funciones $f$ y $g$ son suaves (todas las derivadas de $f$ y $g$ en $x,y$ y $\mu$ existen). Supongamos que existe $\mu^*$ (el parámetro de bifurcación) tal que $(\bar{x}(\mu^*),\bar{y}(\mu^*))$ es un punto fijo para el sistema cuando $\mu=\mu^*$. Por el teorema de la función implícita, existe una curva suave de puntos fijos $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$ en un intervalo
que contiene el valor $\mu=\mu^*$.
Teorema de bifurcación de Andronov-Hopf. Supongamos que, cerca de $\mu=\mu^*$, la matriz Jacobiana del campo vectorial evaluado en $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$ tiene
valores propios de la forma
$$ a(\mu)\pm i b(\mu) $$
con
$$ a(\mu^*)=0\quad\text{and}\quad b(\mu^*)\neq 0. $$
Supongamos también que las partes reales de los valores propios cambian de signo al variar $\mu$ por $\mu^*$, i.,
$$ \frac{\text{d}a}{\text{d}\mu}(\mu^*)\neq 0. $$
Dadas estas hipótesis, se plantean las siguientes posibilidades:
- Existe un intervalo $\mu^*<\mu<\mu_1$ tal que un ciclo límite rodea $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$. Al variar $\mu$, el diámetro del ciclo límite cambia en proporción a $\sqrt{|\mu-\mu^*|}$. No hay otra trayectoria cerrada cerca de $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$. Este caso se denomina bifurcación supercrítica.
- Existe un intervalo $\mu_0<\mu<\mu^*$ tal que se llega a una conclusión similar a la del caso anterior. Este caso se denomina bifurcación subcrítica.
Hay que hacer varias observaciones:
- El teorema dice algo sólo local alrededor del punto fijo. Por ejemplo, en el caso supercrítico, puede que el ciclo límite desaparezca cuando $\mu$ está por encima de $\mu_{1}$, puede que no.
- De hecho, existe un tercer escenario posible: pueden nacer infinitos ciclos concéntricos alrededor del punto fijo en el valor $\mu=\mu^*$. Pero esta situación no es genérica.
- Existe una versión más potente del teorema cuya conclusión es que el sistema se comporta realmente como nuestros dos ejemplos inventados anteriores, en el sentido de que es
topológicamente equivalente a uno de ellos (hasta el sentido en que rotan las soluciones). - Hemos presentado el teorema de bifurcación de Andronov-Hopf para sistemas bidimensionales. De hecho, existe una versión adecuada aplicable a sistemas de dimensiones superiores. Esto hace que este teorema sea muy atractivo (compárese con el teorema de Poincaré-Bendixson que sólo funciona en dimensión dos).
Un ejemplo de bifurcaciones de ciclos
Todos los ejemplos anteriores de bifurcaciones son locales en el sentido de que ocurren en la pequeña vecindad de un punto fijo. Aquí mostramos ejemplos de bifurcaciones globales que implican ciclos límite.
Consideremos el sistema bidimensional (dado en coordenadas polares)
$$ \begin{cases} \dot{r}=\mu r + r^3-r^5\\ \dot{\theta}=\omega + b r^2 \end{cases} $$
donde $\mu<0$ será el parámetro variable. Como vamos a ver, cuando $\mu$ cruza $-1/4$, se produce lo que se llama una bifurcación de ciclos saddle-node, en la que $(0,0)$ no participa (permanece como sumidero en todo momento). Observando lo que ocurre al disminuir $\mu$, vemos un ciclo límite de repulsión y otro de atracción que chocan y desaparecen.