Una pregunta natural es si podemos clasificar todos los tipos posibles de comportamientos a largo plazo de las soluciones de sistemas bidimensionales. Hemos visto dos tipos de comportamientos: como $t\to+\infty$, soluciones que tienden a un punto fijo, o soluciones que envuelven una trayectoria cerrada (ciclo límite). ¿Existen otros tipos de comportamientos?
Consideramos un sistema bidimensional
$$ \begin{cases} \dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y) \end{cases} $$
donde $f$ y $g$ son funciones continuamente diferenciables.
Existe una primera dicotomía: una solución puede escapar al infinito o permanecer en una región acotada del plano. En las aplicaciones, el primer caso carece obviamente de interés. Enunciamos ahora un teorema que puede considerarse una generalización del teorema de Poincaré-Bendixson.
Theorem. Suppose that a solution of the system lies in a bounded region of the plane in which there are finitely many fixed points. Then, as $t\to+\infty$, it approaches either- a single fixed point;- a single closed trajectory;- a graphic, that is, a finite set of trajectories, each of them connecting one of the fixed points as $|t|\to +\infty$.
Veamos un ejemplo de la tercera posibilidad. Consideremos el sistema
$$ \begin{cases} \dot{x}= \sin(x) \big(-0.1 \cos(x)-\cos(y)\big)\\ \dot{y}= \sin(y) \big(\cos(x)-0.1 \cos(y)\big). \end{cases} $$
Hay puntos fijos que son sillas de montar en las esquinas del cuadrado $(0,0)$, $(0,\pi)$, $(\pi,0)$, y $(\pi,\pi)$, así como muchos otros puntos (debido a la periodicidad del campo vectorial). También hay una fuente espiral en $(\pi/2,\pi/2)$. Todas las soluciones que emanan de un punto dentro del cuadrado (excepto, por supuesto, $(\pi/2,\pi/2)$) se acumulan en la frontera del cuadrado. Cada lado del cuadrado es una trayectoria que conecta dos puntos fijos (se necesita una cantidad infinita de tiempo para hacer la conexión).
La conclusión que puede extraerse del teorema anterior es que el comportamiento de las soluciones a largo plazo es bastante simple. En particular, ¡no hay ‘caos’ posible en el plano de fase! Veremos en la siguiente parte que esto cambia drásticamente para sistemas de mayor dimensión: las soluciones pueden acumularse en conjuntos complicados extraños.