Investigamos las propiedades de estabilidad e inestabilidad de los puntos fijos. En otras palabras, ¿qué ocurre si perturbamos un sistema que se encuentra en un punto fijo? Como el lector puede adivinar, debemos utilizar la aproximación lineal del sistema, pero sólo esperamos poder tratar con ‘pequeñas’ perturbaciones. Por eso presentaremos otra técnica algo más geométrica: el método de Lyapunov. Además, este método nos permite conocer el tamaño de la cuenca de atracción del punto fijo (cuando es asintóticamente estable).
¿Qué significa que un punto fijo sea "estable"??
Consideremos un sistema bidimensional general dado por
$$ \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) $$
donde $\boldsymbol{x}=(x,y)$ y $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=(f(\boldsymbol{x}),g(\boldsymbol{x}))$. Supongamos que tiene un punto fijo $\bar{\boldsymbol{x}}=(\bar{x},\bar{y})$, es decir, un punto en el que el campo vectorial desaparece:
$$ \boldsymbol{f}(\bar{\boldsymbol{x}})=\boldsymbol{0}. $$
La primera noción de estabilidad es la siguiente. Un punto fijo es estable si empezar cerca (lo suficiente) le garantiza permanecer cerca. He aquí una formulación matemática precisa:
Definición. Se dice que el punto fijo $\bar{\boldsymbol{x}}$ es estable si, dado $\epsilon>0$, existe un $\delta>0$ (que depende sólo de $\epsilon$) tal que, para todo $\boldsymbol{x}_0$ para el que $|||boldsymbol{x}_0-\bar{\boldsymbol{x}}|| $$
\|\boldsymbol{x}(t)-\bar{\boldsymbol{x}} \| \leq \epsilon\quad\text{for all}\thinspace t\geq 0.
$$
Se dice que el punto fijo es inestable si no es estable.
A continuación, definimos la noción de punto de atracción.
Definición. Se dice que el punto fijo $\bar{\boldsymbol{x}}$ es atrayente si existe un $\delta>0$ tal que$$ \lim_{t\to\infty} \boldsymbol{x}(t)=\bar{\boldsymbol{x}} $$
siempre que $||\boldsymbol{x}(0)-\bar{\boldsymbol{x}}||<\delta$.En otras palabras, cualquier solución que se inicia dentro de una distancia $\delta$ de $\bar{\boldsymbol{x}}$ está garantizado para converger a $\bar{\boldsymbol{x}}$ con el tiempo.
Por último, existe la noción de estabilidad asintótica que combina las dos nociones anteriores.
Definición. El punto fijo $\bar{\boldsymbol{x}}$ se dice que es asintóticamente estable si es a la vez estable y atrayente.
Probablemente el lector se pregunte: ¿Por qué molestarse con la última definición? De hecho, parece intuitivamente claro que un punto fijo que atrae es necesariamente estable. Esto es cierto para los sistemas unidimensionales. Pero, en general, esto resulta ser falso, como muestra el ejemplo que veremos a continuación.
El atractivo no implica estabilidad: El ejemplo de Vinograd
El siguiente ejemplo, un tanto patológico, ilustra por qué es esencial exigir estabilidad en la definición de estabilidad asintótica. Esta sección puede saltarse en una primera lectura.
Considere el sistema
$$ \begin{cases} \dot{x} = \frac{x^2(y-x)+y^5}{r^2(1+r^4)}\\ \dot{y} = \frac{y^2(y-2x)}{r^2(1+r^4)} \end{cases} $$
donde $r^2=x^2+y^2$. El origen es el único punto fijo.
Se puede ver que el punto fijo $(0,0)$ atrae, ¡pero no es estable! En efecto, se puede observar que muchas soluciones que parten de una pequeña bola centrada en $(0,0)$ abandonan la bola de radio $1/2$ centrada en $(0,0)$, por pequeña que sea la primera bola. Obsérvese que no es fácil demostrar el atractivo de $(0,0)$ y su inestabilidad. Lo único que es fácil de comprobar es que $(0,0)$ atrae a todos los puntos en el eje $x$. Efectivamente, $\dot{y}|_{y=0}=0$, por lo que el eje $x$ es invariante, y, en esta recta, $\dot{x}=-x/(1+x^4)$, lo que implica que $x(t)$ se mueve monotónicamente hacia $(0,0)$.
Estabilidad asintótica a partir de la linealización
Con nuestro estudio previo de los sistemas lineales, y su uso para ver cómo es el retrato de fase en una pequeña vecindad de un punto fijo, no es demasiado sorprendente que podamos deducir algunas consecuencias sobre la estabilidad.
Empecemos con sistemas lineales, es decir, sistemas de la forma
$$ \dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x} $$
donde $A$ es una matriz de dos por dos. Siempre tiene $\boldsymbol{0}$ como punto fijo. Tenemos el siguiente resultado.
Teorema. Si $\boldsymbol{0}$ es un sumidero, (es decir, , todos los valores propios de $A$ tienen partes reales negativas), entonces es asintóticamente estable. Si $\boldsymbol{0}$ es una fuente o una silla de montar, entonces es inestable.
Es evidente en las definiciones anteriores que el tipo de estabilidad de un punto fijo es una propiedad local. En consecuencia, es razonable esperar que, bajo ciertas condiciones, el tipo de estabilidad de un punto fijo $\bar{\boldsymbol{x}}$ de un sistema no lineal se puede determinar a partir de su versión linealizada, que es el sistema lineal obtenido mediante la sustitución del campo vectorial por la matriz jacobiana evaluada en $\bar{\boldsymbol{x}}$.
Teorema. Sea $\bar{\boldsymbol{x}}$ un punto fijo de $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ donde $\boldsymbol{f}$ es diferenciable y tiene todas sus derivadas parciales que son funciones continuas. Entonces- si todos los valores propios de la matriz jacobiana en $\bar{\boldsymbol{x}}$ tienen partes reales negativas, entonces $\bar{\boldsymbol{x}}$ es asintóticamente estable;- si al menos uno de los valores propios tiene parte real positiva, entonces $\bar{\boldsymbol{x}}$ es inestable.
En vista de Teorema de Hartman-Grobman, este teorema se puede reformular diciendo que, si $\bar{\boldsymbol{x}}$ es un sumidero, entonces es asintóticamente estable, mientras que, si es una fuente o una silla de montar, es inestable.
Aunque el teorema anterior no es en absoluto sorprendente, su demostración es un poco complicada, por lo que nos abstenemos de darla. Supongamos ahora que tenemos un sumidero. ¿Podemos decir algo cuantitativo sobre el tiempo que tarda en alcanzarlo una solución que parte de una vecindad del punto fijo? La respuesta es afirmativa:
Theorem. Sea $\bar{\boldsymbol{x}}$ un sumidero. Esto significa que existe $\alpha>0$ tal que los valores propios de la matriz jacobiana en $\bar{\boldsymbol{x}}$ tienen ambos una parte real estrictamente menor que $-\alpha$. Entonces, dado $\epsilon>0$, existe un $\delta>0$ tal que para cada $\boldsymbol{x}_0$ para el que $\| \boldsymbol{x}_0-\bar{\boldsymbol{x}}||<\delta$, la solución $\boldsymbol{x}(t)$ tal que $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$ satisface$$ \|\boldsymbol{x}(t)-\bar{\boldsymbol{x}}\| \leq \epsilon\, e^{-\alpha t} $$
para todo $t\geq 0$.
Así, si empezamos lo suficientemente cerca de un sumidero, convergemos a él muy rápidamente. En la práctica, esto significa que, al cabo de poco tiempo, ya no podemos distinguir la solución del sumidero. Esto es lo que observamos en los experimentos numéricos.
Concluyamos esta sección señalando que los conceptos de estabilidad que hemos introducido y los teoremas que hemos enunciado son válidos en cualquier dimensión.
Estabilidad mediante el método de Lyapunov
Para un punto fijo asintóticamente estable, es de considerable importancia práctica obtener buenas estimaciones de su cuenca de atracción, es decir, el subconjunto de $\mathbb{R}^2$ que consiste en los datos iniciales $\boldsymbol{x}_0$ con la propiedad de que $\boldsymbol{x}(t)\a \bar{\boldsymbol{x}}$ a medida que $t\a \infty$, donde $\boldsymbol{x}(t)$ es la solución tal que $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$. El teorema anterior sólo daría una estimación aproximada, porque los términos no lineales se estiman aproximadamente. Por eso introducimos el llamado método de Lyapunov, que hace un uso explícito de los términos no lineales y suele dar una mejor estimación de la cuenca de atracción de un punto fijo asintóticamente estable. Por desgracia, este método es complicado.
Un ejemplo inicial: el péndulo
Volvemos a la péndulo idealizado :
$$ \begin{cases} \dot{x}=y\\ \dot{y}=-\sin x-\mu y. \end{cases} $$
La posición de equilibrio del péndulo que cuelga recto hacia abajo es el punto fijo $(0,0)$. Es físicamente obvio que es estable en el caso sin fricción ($\mu=0$), mientras que se vuelve asintóticamente estable si añadimos fricción. (Por el contrario, los puntos fijos $(-\pi,0)$ y $(\pi,0)$, que corresponden ambos a que el péndulo está recto hacia arriba, son inestables, con o sin rozamiento).
De hecho, podemos visualizar lo que ocurre adoptando un punto de vista más abstracto. ¿Por qué lo hacemos? Porque esto sugiere una poderosa estrategia para demostrar la estabilidad de un punto fijo para sistemas que no tienen nada que ver con la mecánica.
Ahora que ya has visualizado lo que ocurre, vayamos más allá. Usando la fórmula para la derivada total de $L$ con respecto a $t$ se obtiene
$$ \dot{L}(x,y)=\frac{\text{d} L(x,y)}{\text{d}t} = \frac{\partial L}{\partial x} \frac{\text{d}x}{\text{d} t}+\frac{\partial L}{\partial y} \frac{\text{d}y}{\text{d} t} =\frac{\partial L}{\partial x}\, \dot{x}+\frac{\partial L}{\partial y}\, \dot{y}\,. $$
Para cualquier solución que pase por el punto $(x,y)$ en el tiempo $t=0$, debemos tener $\dot{x}=y$ y $\dot{y}=-\sin x$. Por lo tanto
$$ \dot{L}(x,y)=(\sin x)\, y +y\, (-\sin x)=0. $$
Por tanto, $L$ es constante a lo largo de toda solución, como se ha dicho.
Procediendo como antes, pero ahora teniendo en cuenta que tenemos $\mu>0$ (es decir, $\dot{y}=-\sin x -\mu y$), encontramos
$$ \dot{L}(x,y)=-\mu y^2 \leq 0. $$
Esto implica el hecho de que la energía disminuye a lo largo de cada solución.
En resumen, encontramos una función $L(x,y)$ de valor real que alcanza su mínimo en el punto fijo $(0,0)$. Cuando la derivada temporal de $L$ a lo largo de cada solución es igual a $0$, entonces el punto fijo $(0,0)$ es estable. Cuando esta derivada es estrictamente negativa excepto en $(0,0)$, entonces es asintóticamente estable.
Funciones de Lyapunov y teorema de Lyapunov
Motivado por el péndulo, uno puede preguntarse si, para los sistemas que no tienen nada que ver con la mecánica, podemos encontrar una función similar a la energía que disminuye a lo largo de las soluciones. Tal función se denomina función de Lyapunov. Si tal función existe, entonces esperamos sacar conclusiones sobre la estabilidad o la estabilidad asintótica.
Para ser más precisos, consideremos un sistema $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ con un punto fijo en $\bar{\boldsymbol{x}}$. (Utilizamos a propósito una notación vectorial porque lo que vamos a hacer funciona para cualquier sistema de dimensión finita, no sólo para uno bidimensional).
Tenemos el siguiente teorema plausible.
Teorema de Lyapunov.Supongamos que podemos encontrar una función $L(\boldsymbol{x})$ continuamente diferenciable y de valor real tal que $L(\boldsymbol{x})>L(\bar{\boldsymbol{x}})$ para todo $\boldsymbol{x}$ en alguna vecindad $U$ de $\bar{\boldsymbol{x}}$.Si $\dot{L}(\boldsymbol{x})\leq 0$ para todo $\boldsymbol{x}\ en U$, entonces $\bar{\boldsymbol{x}}$ es estable.Si $\dot{L}(\boldsymbol{x})< 0$ para todo $\boldsymbol{x}\in U\backslash{\bar{\boldsymbol{x}}}$, entonces $\bar{\boldsymbol{x}}$ es asintóticamente estable.Si $\dot{L}(\boldsymbol{x})> 0\thinspace \text{for all}\thinspace \boldsymbol{x}\in U\backslash\{\bar{\boldsymbol{x}}\}$, entonces $\bar{\boldsymbol{x}}$ es inestable.
Cuando $\bar{\boldsymbol{x}}$ es asintóticamente estable, debe quedar claro que deseamos tomar la vecindad $U$ tan grande como sea posible. De hecho, $U$ está contenido en la cuenca de atracción de $\bar{\boldsymbol{x}}$. Como es de esperar, la cuenca de atracción se define como el conjunto de datos iniciales $\boldsymbol{x}_0$ con la propiedad de que $\boldsymbol{x}(t)\to \bar{\boldsymbol{x}}$ a medida que $t\to \infty$, donde $\boldsymbol{x}(t)$ es la solución tal que $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$. Para el péndulo con rozamiento ($\mu>0$), está claro que la cuenca de atracción de $(0,0)$ es todo el plano $xy$. Entonces es natural decir que $(0,0)$ es globalmente estable asintóticamente.
El teorema de Lyapunov tiene un grave inconveniente: no hay una forma sistemática de construir funciones de Lyapunov. Las sumas de cuadrados funcionan ocasionalmente, como mostrarán los siguientes ejemplos. Mencionemos que sólo hemos presentado una ínfima parte del método de Lyapunov.
Un ejemplo de juguete
Ilustramos el teorema de Lyapunov con un ejemplo sencillo.
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=-x+\mu x^2 y \end{cases} $$
donde $\mu$ es un parámetro real. Cuando $\mu=0$, se puede reconocer el oscilador armónico. Pero la forma de perturbarlo no tiene interpretación física. El único punto fijo es $(0,0)$. Cuando $\mu=0$, sabemos que el plano de fase está lleno de trayectorias cerradas, es decir, círculos. Así que la función $L(x,y)=x^2+y^2$ es candidata a ser una función de Lyapunov.
Calculemos su derivada temporal a lo largo de las soluciones del sistema:
$$ \begin{aligned} \dot{L}(x,y) &= 2x\dot{x}+ 2y\dot{y}\\ & =2xy-2xy+2\mu x^2 y^2\\ &= 2\mu x^2 y^2. \end{aligned} $$
Apliquemos el teorema de Lyapunov. Si $\mu<0$, entonces $\dot{L}(x,y)\geq 0$ para todo $(x,y)$ y desaparece sólo en $(0,0)$. Por lo tanto $(0,0)$ es (globalmente) asintóticamente estable. Si $\mu>0$, entonces $\dot{L}(x,y)>0$ para todo $(x,y)$, excepto en $(0,0)$, por lo tanto $(0,0)$ es inestable.
Resiliencia en un modelo de dos poblaciones en competencia
Volvemos al modelo siguiente:
$$ \begin{cases} \dot{x}=x\, (1-x-a_{12}y) \\ \dot{y}=\rho y\, (1-y-a_{21}x). \end{cases} $$
Hemos visto que existe un régimen de coexistencia que corresponde al punto fijo
$$ (\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{1-a_{12}}{1-a_{12}a_{21}},\frac{1-a_{21}}{1-a_{12}a_{21}} \right). $$
Si las densidades de las poblaciones están dadas exactamente por $\bar{x}$ y $\bar{y}$, permanecen así para siempre. Supongamos ahora que una influencia extrínseca aleja repentinamente el sistema de estos valores. ¿Esta perturbación será amortiguada rápidamente por la dinámica? En otras palabras, ¿es el punto fijo $(\bar{x},\bar{y})$ asintóticamente estable? En Ecología, la capacidad de un ecosistema para responder a una perturbación y recuperarse rápidamente se denomina resiliencia.
El experimento numérico muestra claramente que $(\bar{x},\bar{y})$ es asintóticamente estable. La linealización alrededor de este punto confirmaría matemáticamente esta observación, pero sólo localmente. Lo que parece cierto es que $(\bar{x},\bar{y})$ es globalmente, asintóticamente estable: para cualquier densidad inicial $(x_0,y_0)$ que sea estrictamente positiva, el sistema tiende rápidamente a $(\bar{x},\bar{y})$. ¿Podemos demostrar esto rigurosamente? Sí, porque existe una función de Lyapunov. Viene dada por la forma cuadrática
$$ L(x,y)= \rho\left[ a_{21} (x-\bar{x})^2+2a_{12}a_{21} (x-\bar{x})(y-\bar{y})+a_{12}(y-\bar{y})^2 \right]. $$
¿Cómo lo encontró la gente? Pues probaron con una suma de cuadrados que ajustaron por ensayo-error. Se deja al lector verificar que la función $L$ anterior satisface las propiedades requeridas para concluir que $(\bar{x},\bar{y})$ es asintóticamente estable.