Nous étudions les propriétés de stabilité et d’instabilité des points fixes. En d’autres termes, que se passe-t-il si nous perturbons un système qui est assis à un point fixe ? Comme le lecteur peut le deviner, nous devons utiliser l’approximation linéaire du système, mais nous nous attendons à ne pouvoir traiter que des ‘petites’perturbations. C’est pourquoi nous allons présenter une autre technique, un peu plus géométrique, la méthode de Liapounov. En outre, cette méthode nous permet d’appréhender la taille du bassin d’attraction du point fixe (lorsqu’il est asymptotiquement stable).
Qu’est-ce que cela signifie pour un point fixe d’être `stable’ ?
Considérons un système général à deux dimensions donné par
$$ \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) $$
où $\boldsymbol{x}=(x,y)$ et $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=(f(\boldsymbol{x}),g(\boldsymbol{x}))$. Supposons qu’elle possède un point fixe $\bar{\boldsymbol{x}}=(\bar{x},\bar{y})$, c’est-à-dire un point où le champ vectoriel disparaît :
$$ \boldsymbol{f}(\bar{\boldsymbol{x}})=\boldsymbol{0}. $$
La première notion de stabilité est la suivante. Un point fixe est stable si le fait de commencer à s’en approcher (suffisamment) garantit qu’on en reste proche. Voici une formulation mathématique précise :
Définition. Le point fixe $\bar{\boldsymbol{x}}$ est dit stable si, étant donné $\epsilon>0$, il existe un $\delta>0$ (dépendant uniquement de $\epsilon$) tel que, pour chaque $\boldsymbol{x}_0$ pour lequel $|\boldsymbol{x}_0-\bar{\boldsymbol{x}}\|<\delta$, la solution $\boldsymbol{x}(t)$ telle que $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$ satisfait à l’inégalité$$ \|\boldsymbol{x}(t)-\bar{\boldsymbol{x}} \| \leq \epsilon\quad\text{for all}\thinspace t\geq 0. $$
Le point fixe est dit instable s’il n’est pas stable.
Ensuite, nous définissons la notion de point d’attraction.
Définition. Le point fixe $\bar{\boldsymbol{x}}$ est dit attrayant s’il existe un $\delta>0$ tel que$$ \lim_{t\to\infty} \boldsymbol{x}(t)=\bar{\boldsymbol{x}} $$
lorsque $|\boldsymbol{x}(0)-\bar{\boldsymbol{x}}\|<\delta$.En d’autres termes, toute solution qui commence à une distance $\delta$ de $\bar{\boldsymbol{x}}$ est garantie de converger vers $\bar{\boldsymbol{x}}$ éventuellement.
Enfin, il existe la notion de stabilité asymptotique qui combine les deux notions précédentes.
Définition.Le point fixe $\bar{\boldsymbol{x}}$ est dit asymptotiquement stable s’il est à la fois stable et attirant.
Le lecteur se demande probablement : Pourquoi s’embêter avec cette dernière Définition ? En effet, il semble intuitivement clair qu’un point fixe attractif est nécessairement stable. Ceci est vrai pour les systèmes unidimensionnels. Mais, en général, cela s’avère faux, comme le montre l’exemple présenté ci-après.
L’attractivité n’implique pas la stabilité : l’exemple de Vinograd.
L’exemple suivant, quelque peu pathologique, illustre pourquoi il est essentiel d’exiger la stabilité dans la définition de la stabilité asymptotique. Cette section peut être sautée à la première lecture.
Considérons le système
$$ \begin{cases} \dot{x} = \frac{x^2(y-x)+y^5}{r^2(1+r^4)}\\ \dot{y} = \frac{y^2(y-2x)}{r^2(1+r^4)} \end{cases} $$
où $r^2=x^2+y^2$. L’origine est le seul point fixe.
On peut voir que le point fixe $(0,0)$ est attrayant, mais pas stable ! En effet, on peut observer que de nombreuses solutions démarrant dans une petite boule centrée sur $(0,0)$ quittent la boule
de rayon $1/2$ centrée sur $(0,0)$, quelle que soit la taille de la première boule. Remarquez que prouver l’attractivité de $(0,0)$ et son instabilité n’est pas facile ! La seule chose qu’il est facile de vérifier est que $(0,0)$ attire tous les points sur l’axe $x$. En effet, $\dot{y}|_{y=0}=0$, donc l’axe $x$ est invariant, et, sur cette droite, $\dot{x}=-x/(1+x^4)$, ce qui implique que $x(t)$ se déplace monotonement vers $(0,0)$.
Stabilité asymptotique à partir de la linéarisation
Avec notre étude précédente des systèmes linéaires, et leur utilisation pour voir à quoi ressemble le portrait de phase dans un petit voisinage d’un point fixe, il n’est pas trop surprenant que nous puissions déduire quelques conséquences sur la stabilité.
Commençons par les systèmes linéaires, c’est-à-dire les systèmes de la forme
$$ \dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x} $$
où $A$ est une matrice deux par deux. Elle a toujours $\boldsymbol{0}$ comme point fixe. On a le résultat suivant .
Théorème. Si $\boldsymbol{0}$ est un puits, (i.e., toutes les valeurs propres de $A$ ont des parties réelles négatives), alors il est asymptotiquement stable. Si $\boldsymbol{0}$ est une source ou une selle, alors il est instable.
Il est évident dans les définitions ci-dessus que le type de stabilité d’un point fixe est une propriété locale. Par conséquent, il est raisonnable de s’attendre à ce que, sous certaines conditions, le type de stabilité d’un point fixe $\bar{\boldsymbol{x}}$ d’un système non linéaire puisse être déterminé à partir de sa version linéarisée, qui est le système linéaire obtenu en remplaçant le champ vectoriel par la matrice jacobienne évaluée en $\bar{\boldsymbol{x}}$.
Théorème. Supposons que $\bar{\boldsymbol{x}}$ est un point fixe de $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ où $\boldsymbol{f}$ est différentiable et a toutes ses dérivées partielles qui sont des fonctions continues. Alors- si toutes les valeurs propres de la matrice jacobienne en $\bar{\boldsymbol{x}}$ ont des parties réelles négatives, alors $\bar{\boldsymbol{x}}$ est asymptotiquement stable ;- si au moins une des valeurs propres a une partie réelle positive, alors $\bar{\boldsymbol{x}}$ est instable.
Compte tenu de le théorème de Hartman-Grobman, ce théorème peut être reformulé en disant que, si $\bar{\boldsymbol{x}}$ est un puits, alors il est asymptotiquement stable, tandis que, si c’est une source ou une selle, il est instable.
Bien que le théorème précédent ne soit nullement surprenant, sa preuve est un peu complexe, aussi nous nous abstenons de la donner. Maintenant, supposons que nous ayons un puits. Pouvons-nous dire quelque chose de quantitatif sur le temps qu’il faut à une solution commençant dans un voisinage du point fixe pour l’atteindre ? La réponse est oui :
Théorème. Disons que $\bar{\boldsymbol{x}}$ est un puits. Cela signifie qu’il existe $\alpha>0$ tel que les valeurs propres de la matrice jacobienne en $\bar{\boldsymbol{x}}$ ont toutes deux une partie réelle strictement inférieure à $-\alpha$. Alors, étant donné $\epsilon>0$, il existe un $\delta>0$ tel que pour chaque $\boldsymbol{x}_0$ pour lequel $\| \boldsymbol{x}_0-\bar{\boldsymbol{x}}\|<\delta$, la solution $\boldsymbol{x}(t)$ telle que $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$ satisfait à$$ \|\boldsymbol{x}(t)-\bar{\boldsymbol{x}}\| \leq \epsilon\, e^{-\alpha t} $$
pour tout $t\geq 0$.
Ainsi, si nous commençons assez près d’un puits, nous y convergeons très rapidement. En pratique, cela signifie qu’après un court laps de temps, nous ne pouvons plus distinguer la solution du puits. C’est ce que nous observons dans les expériences numériques.
Terminons cette section en remarquant que les concepts de stabilité que nous avons introduits et les théorèmes que nous avons énoncés sont valables en toute dimension.
Stabilité via la méthode de Liapounov
Pour un point fixe asymptotiquement stable, il est d’une importance pratique considérable d’obtenir de bonnes estimations de son bassin d’attraction, c’est-à-dire, le sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$ constitué des données initiales $\boldsymbol{x}_0$ avec la propriété que $\boldsymbol{x}(t)\to \bar{\boldsymbol{x}}$ quand $t\to \infty$, où $\boldsymbol{x}(t)$ est la solution telle que $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$. Le théorème ci-dessus ne donnerait qu’une estimation grossière, car les termes non linéaires sont estimés de manière approximative. C’est pourquoi nous introduisons la méthode dite de Liapounov qui fait un usage explicite des termes non linéaires,
et donne généralement une meilleure estimation du bassin d’attraction d’un point fixe asymptotiquement stable. Malheureusement, cette méthode est délicate.
Un exemple de départ : le pendule.
Nous revenons au pendule idéalisé :
$$ \begin{cases} \dot{x}=y\\ \dot{y}=-\sin x-\mu y. \end{cases} $$
La position d’équilibre du pendule suspendu droit vers le bas est le point fixe $(0,0)$. Il est physiquement évident qu’il est stable dans le cas sans friction ($\mu=0$), alors qu’il devient asymptotiquement stable si on ajoute une friction. (Au contraire, les points fixes $(-\pi,0)$ et $(\pi,0)$, qui correspondent tous les deux au fait que le pendule est droit vers le haut, sont instables, avec ou sans friction).
En fait, nous pouvons visualiser ce qui se passe en adoptant un point de vue plus abstrait. Pourquoi faisons-nous cela ? Parce que cela suggère une stratégie puissante pour prouver la stabilité d’un point fixe pour des systèmes qui n’ont rien à voir avec la mécanique.
Maintenant que vous avez visualisé ce qui se passe, allons plus loin. En utilisant la formule de la dérivée totale de $L$ par rapport à $t$, on obtient .
$$ \dot{L}(x,y)=\frac{\text{d} L(x,y)}{\text{d}t} = \frac{\partial L}{\partial x} \frac{\text{d}x}{\text{d} t}+\frac{\partial L}{\partial y} \frac{\text{d}y}{\text{d} t} =\frac{\partial L}{\partial x}\, \dot{x}+\frac{\partial L}{\partial y}\, \dot{y}\,. $$
Pour toute solution passant par le point $(x,y)$ au temps $t=0$, on doit avoir $\dot{x}=y$ et $\dot{y}=-\sin x$. D’où
$$ \dot{L}(x,y)=(\sin x)\, y +y\, (-\sin x)=0. $$
Par conséquent, $L$ est constant le long de chaque solution, comme on le prétend.
En procédant comme précédemment, mais en tenant compte du fait que nous avons $\mu>0$ (c’est-à-dire que $\dot{y}=-\sin x -\mu y$), on trouve
$$ \dot{L}(x,y)=-\mu y^2 \leq 0. $$
Ceci implique le fait que l’énergie diminue le long de chaque solution.
En résumé, nous avons trouvé une fonction à valeur réelle $L(x,y)$ atteignant son minimum au point fixe $(0,0)$. Lorsque la dérivée temporelle de $L$ le long de chaque solution est égale à $0$, alors le point fixe $(0,0)$ est stable. Lorsque cette dérivée est strictement négative sauf en $(0,0)$, alors il est asymptotiquement stable.
Fonctions de Liapounov et théorème de Liapounov
Motivé par le pendule, on peut se demander si, pour des systèmes n’ayant rien à voir avec la mécanique, on peut trouver une fonction de type énergie qui décroît le long des solutions. Une telle fonction est appelée fonction de Liapounov. Si une telle fonction existe, alors nous espérons tirer des conclusions sur la stabilité ou la stabilité asymptotique.
Pour être plus précis, considérons un système $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ avec un point fixe à $\bar{\boldsymbol{x}}$. (Nous utilisons à dessein une notation vectorielle car ce que nous allons faire fonctionne pour tout système à dimension finie, et pas seulement pour un système à deux dimensions).
Nous avons le théorème plausible suivant .
Théorème de Liapounov.Supposons que nous puissions trouver une fonction à valeurs réelles continûment différentiable $L(\boldsymbol{x})$ telle que $L(\boldsymbol{x})>L(\bar{\boldsymbol{x}})$ for all $\boldsymbol{x}$ dans un voisinage $U$ de $\bar{\boldsymbol{x}}$.Si $\dot{L}(\boldsymbol{x})\leq 0$ pour tout $\boldsymbol{x}\in U$, alors $\bar{\boldsymbol{x}}$ est stable.Si $\dot{L}(\boldsymbol{x})< 0$ pour tout $\boldsymbol{x}\in U\backslash\{\bar{\boldsymbol{x}}\}$, alors $\bar{\boldsymbol{x}}$ est asymptotiquement stable.Si $\dot{L}(\boldsymbol{x})> 0\thinspace \text{for all}\thinspace \boldsymbol{x}\in U\backslash\{\bar{\boldsymbol{x}}\}$, alors $\bar{\boldsymbol{x}}$ est instable.
Lorsque $\bar{\boldsymbol{x}}$ est asymptotiquement stable, il devrait être clair que nous souhaitons prendre le voisinage $U$ aussi grand que possible. En effet, $U$ est contenu dans le bassin d’attraction de $\bar{\boldsymbol{x}}$. Comme on s’y attend, le bassin d’attraction est défini comme l’ensemble des données initiales $\boldsymbol{x}_0$ ayant la propriété que $\boldsymbol{x}(t)\to \bar{\boldsymbol{x}}$ quand $t\to \infty$, où $\boldsymbol{x}(t)$ est la solution telle que $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$. Pour le pendule avec friction ($\mu>0$), il est clair que le bassin d’attraction de $(0,0)$ est le plan $xy$ entier. Il est alors naturel de dire que $(0,0)$ est globalement asymptotiquement stable.
Le théorème de Liapounov présente un sérieux inconvénient : il n’existe pas de moyen systématique de construire des fonctions de Liapounov. Les sommes de carrés fonctionnent parfois, comme le montrent les exemples suivants. Mentionnons que nous n’avons présenté qu’une infime partie de la méthode de Liapounov.
Un exemple jouet
Nous illustrons le théorème de Liapounov avec un exemple simple.
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=-x+\mu x^2 y \end{cases} $$
où $\mu$ est un paramètre réel. Lorsque $\mu=0$, on peut reconnaître l’oscillateur harmonique (\texttthyperlien pour renvoyer au chapitre 1). Mais la façon dont on le perturbe n’a aucune interprétation physique. Le seul point fixe est $(0,0)$. Lorsque $\mu=0$, nous savons que le plan de phase est rempli de trajectoires fermées, à savoir des cercles. Donc la fonction $L(x,y)=x^2+y^2$ est candidate pour être une fonction de Liapounov.
Calculons sa dérivée temporelle le long des solutions du système :
$$ \begin{aligned} \dot{L}(x,y) &= 2x\dot{x}+ 2y\dot{y}\\ & =2xy-2xy+2\mu x^2 y^2\\ &= 2\mu x^2 y^2. \end{aligned} $$
Appliquons le théorème de Liapounov. Si$\mu<0$, alors $\dot{L}(x,y)\geq 0$ pour tout $(x,y)$ et ne disparaît qu’en $(0,0)$. Ainsi, $(0,0)$ est (globalement) asymptotiquement stable. Si $\mu>0$, alors $\dot{L}(x,y)>0$ pour tout $(x,y)$, sauf en $(0,0)$, donc $(0,0)$ est instable.
Résilience dans un modèle de deux populations concurrentes.
On en revient au modèle suivant :
$$ \begin{cases} \dot{x}=x\, (1-x-a_{12}y) \\ \dot{y}=\rho y\, (1-y-a_{21}x). \end{cases} $$
Nous avons vu qu’il existe un régime de coexistence qui correspond au point fixe
$$ (\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{1-a_{12}}{1-a_{12}a_{21}},\frac{1-a_{21}}{1-a_{12}a_{21}} \right). $$
Si les densités de population sont exactement données par $\bar{x}$ et $\bar{y}$, elles restent telles pour toujours. Supposons maintenant qu’une influence extrinsèque éloigne soudainement le système de ces valeurs. Cette perturbation sera-t-elle rapidement amortie par la dynamique ? En d’autres termes, le point fixe $(\bar{x},\bar{y})$ est-il asymptotiquement stable ? En écologie, la capacité d’un écosystème à répondre à une perturbation et à se rétablir rapidement est appelée résilience.
L’expérience numérique montre clairement que $(\bar{x},\bar{y})$ est asymptotiquement stable. Une linéarisation autour de ce point confirmerait mathématiquement cette observation, mais seulement localement. Ce qui semble être vrai, c’est que $(\bar{x},\bar{y})$ est globalement, asymptotiquement stable : pour toute densité initiale $(x_0,y_0)$ strictement positive, le système tend rapidement vers $(\bar{x},\bar{y})$. Peut-on prouver cela rigoureusement ? Oui, nous le pouvons, car il existe une fonction de Liapounov ! Elle est donnée par la forme quadratique
$$ L(x,y)= \rho\left[ a_{21} (x-\bar{x})^2+2a_{12}a_{21} (x-\bar{x})(y-\bar{y})+a_{12}(y-\bar{y})^2 \right]. $$
Comment les gens l’ont-ils trouvé ? Eh bien, ils ont essayé une somme de carrés qu’ils ont ajustée par essais et erreurs. On laisse au lecteur le soin de vérifier que la fonction $L$ ci-dessus satisfait bien les propriétés requises pour conclure que $(\bar{x},\bar{y})$ est asymptotiquement stable.