Parte II: Sistemas bidimensionales: flujos en el plano

Esta parte está dedicada al estudio de sistemas que tienen un espacio de fases bidimensional. Revisaremos los sistemas bidimensionales de la parte inicial con nuevos ojos gracias a los conceptos y técnicas que vamos a introducir. También veremos nuevos ejemplos procedentes de diversos campos.

Como hemos visto, las soluciones de un sistema unidimensional $\dot{x}=f(x)$ se comportan de manera simple porque están obligadas a moverse monotónicamente o a permanecer constantes. En sistemas de dimensiones superiores, las soluciones pueden seguir trayectorias que tienen mucho margen de maniobra, lo que implica una gama más amplia de comportamiento dinámico. Aquí nos centraremos en los sistemas bidimensionales, para los que este rango se conoce bastante bien. Más adelante veremos que añadir una o más dimensiones aporta algunos comportamientos dinámicos nuevos que son imposibles en dimensión dos.

La forma general de un sistema bidimensional es

$$ \begin{cases} \dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y) \end{cases} $$

donde $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ y $f,g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$. En notación vectorial esto se puede escribir como

$$ \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) $$

donde $\boldsymbol{x}=(x,y)$ y $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=(f(\boldsymbol{x}),g(\boldsymbol{x}))$. Como hemos visto en la parte inicial, $\boldsymbol{x}$ representa un punto en el plano $xy$ y $\dot{\boldsymbol{x}}$ es el vector velocidad en ese punto que viene determinado por el campo vectorial $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$. Se puede pensar que este campo vectorial da la velocidad de un fluido imaginario en cada punto. Entonces, una partícula dejada caer en la posición $\boldsymbol{x}_0$ en un cierto tiempo $t_0$ en este fluido seguirá una cierta trayectoria que corresponde a la curva trazada por la solución $\boldsymbol{x}(t)$ tal que $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}_0$. Esto se hace preciso y riguroso mediante una extensión del teorema fundamental de existencia y unicidad enunciado para sistemas unidimensionales.