Theorem. Consideremos la ecuación $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ y un punto $\boldsymbol{x}_0$. Supongamos que $\boldsymbol{f}$ es diferenciable y que todas sus derivadas parciales, es decir, las funciones $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial g}{\partial x}$ y $\frac{\partial g}{\partial x}$, son funciones continuas de $\boldsymbol{x}$. Entonces existe un intervalo de tiempo $(-\tau,\tau)$ alrededor de $t=0$, con $\tau>0$, tal que la ecuación tiene una solución única $\boldsymbol{x}(t)$ tal que $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$.
En resumen, la existencia y unicidad de soluciones están garantizadas si $\boldsymbol{f}$ es continuamente diferenciable. La demostración de este teorema es la misma que en dimensión uno y ¡también es la misma en dimensión superior! A partir de ahora, todos nuestros campos vectoriales son suficientemente suaves para que se aplique el teorema anterior. En la mayoría de los ejemplos, en efecto, los campos vectoriales serán la mayoría de las veces funciones polinómicas en las variables $x,y$, o a veces funciones racionales con un denominador no evanescente.
Este teorema tiene un corolario importante: las trayectorias diferentes nunca se cruzan. Si dos trayectorias se cruzaran, entonces habría dos soluciones que partirían del mismo punto (el punto de cruce), y esto violaría la parte de unicidad del teorema. Por lo tanto, las trayectorias dividen el plano $xy$. En particular, si hay un punto fijo $\bar{\boldsymbol{x}}$ (lo que significa que $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$), y si se puede llegar a él, el tiempo que se tarda es infinito (si no se parte de este punto, claro).
Exactamente por la misma razón que la explicada en la dimensión uno, no hay pérdida de generalidad al considerar $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$ en el tiempo $t=0$ porque el campo vectorial no depende del tiempo. En la dimensión uno vimos un ejemplo sencillo que mostraba que, en general, no existen soluciones para todos los tiempos. No es una cuestión sencilla pero, afortunadamente, para todas las aplicaciones que veremos, existen soluciones para todos los tiempos.
Para los sistemas bidimensionales (a diferencia de los de dimensiones superiores), la parte de unicidad del teorema anterior tiene fuertes consecuencias topológicas que exploramos más adelante. Por ejemplo, supongamos que existe una trayectoria cerrada $C$ en el plano $xy$, que corresponde a una solución periódica. (Ya conocimos ejemplos de tales soluciones en la parte inicial.) Entonces cualquier trayectoria trazada por una solución que empiece en un punto dentro de $C$ queda atrapada allí para siempre. ¿Cuál es el destino de tal solución acotada? Veremos que podemos responder a esta pregunta gracias al teorema de Poincaré-Bendixson.
