El retrato de fase de una ecuación dada $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ es un gráfico de trayectorias típicas en el plano $xy$. Para la mayoría de los ejemplos interesantes que surgen en las aplicaciones, no hay esperanza de encontrar las trayectorias analíticamente. E incluso cuando se dispone de fórmulas explícitas (lo que ocurre muy raramente), a menudo son dos complicadas para proporcionar mucha información. En su lugar, intentaremos determinar el comportamiento cualitativo de las soluciones. Los experimentos digitales nos permitirán explorar y observar algunos fenómenos que analizaremos después, con mayor o menor rigor, en función de su grado de dificultad.
Trazado del retrato de fase
Las dos características básicas de cualquier retrato de fase son:
- los puntos fijos que son los puntos $\boldsymbol{x}$ donde $\boldsymbol{f} (\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$;
- isoclinas especiales, a saber, las nullclines. Se definen como las curvas donde $\dot{x}=0$ o $\dot{y}=0$. Las líneas nulas indican dónde el campo vectorial es puramente horizontal o vertical. Por definición, los puntos fijos se encuentran en la intersección de las líneas nulas. También dividen el plano en regiones donde $\dot{x}$ y $\dot{y}$ tienen un signo fijo.
Veremos cómo podemos aproximar el retrato de fase cerca de un punto fijo por el de un sistema lineal correspondiente. Esto ampliará lo que desarrollamos anteriormente para sistemas unidimensionales.
Invertir el tiempo es muy fácil.
Consideremos una ecuación $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ que escribimos como
$$ \frac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}). $$
Recuerde que
$$ \dot{\boldsymbol{x}}=\frac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}. $$
Queremos invertir el tiempo, lo que significa que cambiamos $t$ por $-t$. Vemos que es equivalente a cambiar la dirección del campo vectorial porque
$$ \frac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}(-t)}=-\frac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=-\,\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}). $$
Esto demuestra en particular que basta con mirar hacia adelante en el tiempo, ya que para saber lo que ocurre hacia atrás en el tiempo sólo tenemos que cambiar considerar el campo vectorial $-\boldsymbol{f}$.
Manchas fluidas de condiciones iniciales
Hasta ahora hemos hecho hincapié en las soluciones de las ecuaciones diferenciales como funciones del tiempo. Ahora hacemos hincapié en la dependencia de las condiciones iniciales. Sea $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ una ecuación diferencial e imaginemos dibujar alguna forma en el plano $xy$ (un rectángulo, por ejemplo) y resolver la ecuación, comenzando en cada punto de esta forma. Usando nuestra imagen de un fluido imaginario cuya velocidad en el punto $\boldsymbol{x}$ viene dada por $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$, podemos imaginar que dejamos caer un montón de partículas y observamos cómo fluyen. La forma se moverá, y probablemente se distorsionará, como ilustran los siguientes ejemplos.
Puedes dibujar una mancha de cualquier forma con el ratón y observar cómo evoluciona. También puedes invertir el tiempo cambiando $t$ por $-t$.