Si nos dan un sistema $\dot{x}=f(x)$ y un estado inicial $x_0$, ¿existe una solución $x(t)$ a esta ecuación tal que $x(0)=x_0$? Resulta que si $f$ es una función continua, entonces la existencia está garantizada. El ejemplo
$$ f(x)= \begin{cases} 1 & \text{if}\quad x< 0\\ -1 & \text{if}\quad x\geq 0 \end{cases} $$
muestra que cuando $f$ es discontinuo, las cosas pueden ir mal: no hay solución que satisfaga $x(0)=0$.
La siguiente pregunta natural es sobre la unicidad. ¿Qué puede fallar? Un buen ejemplo es el cubo agujereado.
Cubo con fugas frente a desintegración radiactiva
Piensa en un cubo con un agujero en el fondo. Si en un momento dado ves el cubo vacío, ¿puedes averiguar cuándo estuvo lleno (si es que alguna vez lo estuvo)? Obviamente, no. Veamos un modelo simplificado para ver qué ocurre en términos de ecuaciones diferenciales. Si dejamos que $x(t)$ sea la altura del agua que queda en el cubo en el momento $t$, la ecuación es
$$ \dot{x}=-C\sqrt{x} $$
donde $C=\sqrt{2g}\times s/S$ es una constante positiva determinada por la aceleración de la gravedad $g$, la sección transversal del agujero $s$ y la sección transversal del cubo $S$. Esto se conoce como ley de Torricelli. Estudiaremos la ecuación diferencial para $0\leq x\leq 1$, donde $x=0$ corresponde a un cubo vacío y $x=1$ a un cubo lleno.
La solución con $x(0)=1$ se encuentra fácilmente por separación de variables:
$$ x(t)= \begin{cases} \frac{C^2}{4}\ (t-t_e)^2 & \text{for}\quad 0\leq t\leq t_e\\ 0 & \text{for}\quad t>t_e \end{cases} $$
donde $t_e=2/C$ es el tiempo necesario para que el cubo pase de lleno a vacío. Esta solución para una condición inicial de cubo lleno $x(0)=1$ determina unívocamente la altura $x(t)$ del agua en cualquier momento $t\geq 0$. El problema de la no unicidad surge cuando miramos hacia atrás desde una condición inicial de cubo vacío. ¡Por ejemplo, una condición inicial de cubo vacío $x(t_e)=0$ podría haber resultado de un cubo lleno en cualquier momento $t\leq 0$!
Contrasta la ecuación del cubo agujereado $\dot{x}=-\sqrt{x}$ con la ecuación engañosamente similar $\dot{x}=-x$. Esta última ecuación fue nuestro primer ejemplo utilizado para describir una población de bacterias. Aquí la interpretamos como la descripción de la desintegración de una sustancia radiactiva a lo largo del tiempo. Tenemos
$$ x(t)=x(t_0)\thinspace e^{-(t-t_0)}. $$
Como hemos visto, la unicidad es válida para estas soluciones y trabajar hacia atrás a partir de cualquier condición inicial no supone ningún problema. Esto se utiliza en la datación por carbono, siendo $x(t)$ la relación entre carbono-14 y carbono-12 en el momento $t$.
Así pues, a partir de los datos actuales, la ecuación de la desintegración radiactiva puede decir exactamente lo que ocurrió hace un número determinado de años, ¡pero la ecuación del cubo no! Así pues, necesitamos un criterio matemático que nos diga por qué estas ecuaciones diferenciales se comportan de formas tan distintas. Tenemos el siguiente teorema:
Existencia y unicidad
Teorema fundamental.Consideremos el problema de valor inicial$$ \dot{x}=f(x),\quad x(0)=x_0. $$
Supongamos que $f$ y $f’$ son continuas en un intervalo abierto $I$ del eje $x$, y supongamos que $x_0\in I$. Entonces existe un intervalo de tiempo $(-\tau,\tau)$ alrededor de $t=0$, con $\tau>0$, tal que la ecuación tiene una solución única $x(t)$ que satisface $x(0)=x_0$.
La solución traza un segmento que se denomina trayectoria. (Matemáticamente hablando, es la imagen del intervalo $(-\tau,\tau)$ por la función $t\mapsto x(t)$).
En el ejemplo del cubo agujereado, la función $f(x)=\sqrt{x}$ no es diferenciable en $x=0$.
El teorema dice que si $f$ es suficientemente suave, entonces las soluciones existen y son únicas, pero no hay garantía de que la solución exista para siempre, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Vida útil y reventón
Consideremos $\dot{x}=x^2$ con una condición inicial $x_0>0$. Por separación de variables obtenemos
$$ x(t)=\frac{1}{\frac{1}{x_0}-t}. $$
Así, la solución existe en el intervalo de tiempo $(-\infty,\frac{1}{x_0})$. ¡Por otra parte, el sistema alcanza infinito en tiempo finito ! Este fenómeno se denomina blow-up. Tiene relevancia física en modelos de combustión y otros procesos de fuga.
A partir de ahora, no nos preocuparemos por cuestiones de existencia y unicidad porque trataremos con $f$ suficientemente suaves.
Soluciones cambiantes
Uno puede preguntarse por qué nos hemos limitado a buscar soluciones sobre el tiempo $t=0$. De hecho, no hay pérdida de generalidad al hacerlo. Esto es intuitivamente obvio si volvemos a la interpretación de la ecuación $\dot{x}=f(x)$ como la descripción de una partícula que se mueve sobre la recta real cuya velocidad en el punto $x$ es $f(x)$. Si una partícula está en el tiempo $0$ en la posición $x_0$, entonces el teorema anterior nos dice que está en el tiempo $t$ en una posición bien definida $x(t)$. Ahora, si soltamos otra partícula en el tiempo $s>0$ en la posición $x_0$, tendrá la misma evolución que la primera partícula, pero desplazada en el tiempo: si la primera partícula está en el tiempo $t$ en la posición $x(t)$, la segunda estará en la misma posición en el tiempo $t+s$. Obviamente, las dos partículas tienen la misma trayectoria. Matemáticamente, lo que acabamos de decir es una consecuencia del hecho de que $f$ no depende explícitamente del tiempo.