Si l’on se donne un système $\dot{x}=f(x)$ et un état initial $x_0$, existe-t-il une solution $x(t)$ à cette équation telle que $x(0)=x_0$ ? Il s’avère que si $f$ est une fonction continue, alors l’existence est garantie. L’exemple
$$ f(x)= \begin{cases} 1 & \text{if}\quad x< 0\\ -1 & \text{if}\quad x\geq 0 \end{cases} $$
montre que lorsque $f$ est discontinue, les choses peuvent mal tourner : il n’existe pas de solution qui satisfasse $x(0)=0$.La question naturelle suivante concerne l’unicité. Qu’est-ce qui peut mal tourner ? Un bon exemple est celui du seau qui fuit.
Seau percé contre désintégration radioactive
Considérez un seau dont le fond est troué. Si, à un moment donné, vous voyez le seau vide, pouvez-vous déterminer quand (si jamais) il était plein ? C’est évidemment impossible ! Examinons un modèle simplifié à l’extrême pour voir ce qui se passe en termes d’équations différentielles. Si nous considérons que $x(t)$ est la hauteur de l’eau restant dans le seau au temps $t$, l’équation est la suivante
$$ \dot{x}=-C\sqrt{x}, $$
où $C=\sqrt{2g}\times s/S$ est une constante positive déterminée par l’accélération de la gravité $g$, la section du trou $s$ et la section du seau $S$. Cette loi est connue sous le nom de loi de Torricelli. Nous allons étudier l’équation différentielle pour $0\leq x\leq 1$, où par convention $x=0$ correspond à un seau vide et $x=1$ à un seau plein.La solution avec $x(0)=1$ est facilement trouvée par séparation des variables :
$$ x(t)= \begin{cases} \frac{C^2}{4}\ (t-t_e)^2 & \text{for}\quad 0\leq t\leq t_e\\ 0 & \text{for}\quad t>t_e \end{cases} $$
où $t_e=2/C$ est le temps nécessaire pour que le seau passe de plein à vide. Cette solution pour une condition initiale de seau plein $x(0)=1$ détermine de manière unique la hauteur $x(t)$ de l’eau à tout instant $t\geq 0$. Le problème de non-unicité se pose lorsque l’on regarde en arrière à partir d’une condition initiale de seau vide. Par exemple, une condition initiale de seau vide $x(t_e)=0$ aurait pu résulter d’un seau plein à tout $t\leq 0$ !
Comparez l’équation du seau percé $\dot{x}=-\sqrt{x}$ avec l’équation $\dot{x}=-x$ qui n’a pas l’air si différente. Cette équation a été notre tout premier exemple utilisé pour décrire une population de bactéries. Nous l’interprétons ici comme décrivant la désintégration d’une substance radioactive au fil du temps. Nous avons
$$ x(t)=x(t_0)\thinspace \text{e}^{-(t-t_0)}. $$
Comme nous l’avons vu, l’unicité est vraie pour ces solutions et le retour en arrière à partir de n’importe quelle condition initiale ne pose aucun problème. Une application concrète est la datation du carbone, $x(t)$ étant le rapport entre le carbone-14 et le carbone-12 au temps $t$.Ainsi, à partir des données actuelles, l’équation de la désintégration radioactive peut vous dire exactement ce qui s’est passé il y a un certain nombre d’années — ce que l’équation du seau, elle, ne peut pas faire !
Il nous faut donc un critère mathématique pour comprendre pourquoi ces équations différentielles se comportent de manière aussi différente.
Existence et unicité
Théorème fondamental.On se donne l’équation différentielles et la condition initiale suivantes :$$ \dot{x}=f(x),\quad x(0)=x_0. $$
Supposons que les fonctions $f$ et $f’$ soient continues sur un intervalle ouvert $I$ de l’axe des $x$ et que $x_0\in I$. Alors il existe un intervalle de temps $]-\tau,\tau[$ autour de $t=0$, avec $\tau>0$, tel que l’équation possède une solution unique $x(t)$ satisfaisant $x(0)=x_0$.
La solution trace un segment que l’on appelle une trajectoire. (Mathématiquement parlant, c’est l’image de l’intervalle $]-\tau,\tau[$ par la fonction $t\mapsto x(t)$).)
Dans l’exemple du seau percé, la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ n’est pas différentiable à $x=0$.
Le théorème dit que si $f$ est suffisamment lisse, alors les solutions existent et sont uniques, mais il n’y a aucune garantie que la solution existe pour toujours, comme le montre l’exemple suivant.
« Temps de vie » et explosion
Considérons $\dot{x}=x^2$ avec une condition initiale $x_0>0$. Par séparation des variables, on obtient
$$ x(t)=\frac{1}{\frac{1}{x_0}-t}. $$
Ainsi la solution existe dans l’intervalle de temps $(-\infty,\frac{1}{x_0})$. De plus, la solution « explose » (devient infinie) en temps fini ! Ce phénomène présente un intérêt physique dans les modèles de combustion et autres processus d’emballement.
À partir de maintenant, nous ne nous soucierons pas des questions d’existence et d’unicité car les fonctions $f$ seront suffisamment lisses dans tous les exemples que nous rencontrerons (la plupart du temps ce seront des fonctions polynomiales). Et nous ne rencontrerons pas de modèles dont les solutions ont un « temps de vie » fini.
Solutions décalées en temps
On peut se demander pourquoi nous nous sommes limités à la recherche de solutions autour du temps $t=0$. Il n’y a en fait aucune perte de généralité à le faire. Cela est intuitivement évident si l’on revient à l’interprétation de l’équation $\dot{x}=f(x)$ comme décrivant une particule se déplaçant sur la droite réelle dont la vitesse au point $x$ est $f(x)$. Si une particule est au temps $0$ à la position $x_0$, alors le théorème ci-dessus nous dit qu’elle est au temps $t$ à une position bien définie $x(t)$. Maintenant, si nous déposons une autre particule au temps $s>0$ à la position $x_0$, elle aura la même évolution que la première particule, mais décalée dans le temps : si la première particule est au temps $t$ à la position $x(t)$, la seconde sera à la même position au temps $t+s$. Évidemment, les deux particules ont la même trajectoire. Mathématiquement, ce que nous venons de dire est une conséquence du fait que $f$ ne dépend pas explicitement du temps.