Le fait d’être contraint de se déplacer sur la droite réelle oblige les solutions à croître ou décroître de façon monotone, ou à rester constantes (point fixe). Plus précisément, les solutions non constantes s’approchent d’un point fixe, ou divergent vers $\pm\infty$ de façon monotone. Pour le dire de manière plus géométrique, une particule qui circule sur la droite réelle selon la formule $\dot{x}=f(x)$ ne change jamais de direction. Il n’existe donc pas de solutions périodiques à de telles équations.
Démontrons analytiquement l’absence de telles solutions. Supposons au contraire que $x(t)$ est une solution périodique non triviale, c’est-à-dire que $x(t)=x(t+T)$ pour un certain $T>0$, et $x(t)\neq x(t+s)$ pour tous les $0 < s < T$. Supposons également que $f$ n’est pas la fonction identiquement nulle. D’une part,
$$ \int_{t}^{t+T} f(x) \frac{\text{d}x}{\text{d}t} \ \text{d}t=\int_{x(t)}^{x(t+T)} f(x)\ \text{d}x=0. $$
La première égalité découle de la règle de dérivation en chaîne, la seconde de l’hypothèse que $x(t)=x(t+T)$. D’autre part, puisque $\dot{x}=\text{d}x/\text{d}t=f(x)$,
$$ \int_{t}^{t+T} f(x) \frac{\text{d}x}{\text{d}t} \text{d}t=\int_{t}^{t+T} \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2 \text{d}t\ >0 $$
par l’hypothèse que $T>0$ et que $\text{d}x/\text{d}t$ n’est pas identiquement nul. On est donc arrivé à une contradiction, donc il n’y a pas de solution périodique.