La restricción de moverse sobre la recta real obliga a las soluciones a aumentar o disminuir monotónicamente, o a permanecer constantes (punto fijo). Más concretamente, las soluciones no constantes se aproximan a un punto fijo o divergen hacia $\pm\infty$ monotónicamente. Para decirlo de forma más geométrica, una partícula que fluye sobre la recta real según $\dot{x}=f(x)$ nunca invierte su dirección. Por lo tanto, no hay soluciones periódicas para tales ecuaciones. Probemos analíticamente la ausencia de soluciones periódicas. Supongamos por el contrario que $x(t)$ es una solución periódica no trivial, es decir, $x(t)=x(t+T)$ para algún $T>0$, y $x(t)\neq x(t+s)$ para todo $0 $$
\int_{t}^{t+T} f(x) \frac{\text{d}x}{\text{d}t} \ \text{d}t=\int_{x(t)}^{x(t+T)} f(x)\ \text{d}x=0.
$$ $$
\int_{t}^{t+T} f(x) \frac{\text{d}x}{\text{d}t} \ \text{d}t=\int_{t}^{t+T} \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2 \text{d}t\ >0
$$
La primera igualdad se sigue de la regla de la cadena, y la segunda de la suposición de que $x(t)=x(t+T)$. Por otra parte, como $\dot{x}=\text{d}x/\text{d}t=f(x)$,
suponiendo que $T>0$ y $\text{d}x/\text{d}t$ no desaparece idénticamente. Esto es una contradicción, por lo tanto no hay solución periódica.
