Para una ecuación $\dot{x}=f(x)$, recordemos que un punto fijo $\bar{x}$ es un punto tal que $f(\bar{x})=0$; corresponde a una solución constante o estacionaria $x(t)=\bar{x}$ que está obviamente definida para todo $t\in\mathbb{R}$.
Consideremos de nuevo la ecuación logística $\dot{x}=bx-dx^2$ para $x\geq 0$; tiene dos puntos fijos, a saber $0$ y $b/d$. Intuitivamente, $0$ es un punto fijo inestable ya que ‘repele’ soluciones que parten de algún $x_0\in (0,b/d)$, mientras que $b/d$ es un punto fijo estable ya que ‘atrae’ todas las soluciones que parten de $x_0$.
Tiempo para alcanzar un punto fijo
Antes de estudiar la noción de estabilidad, respondemos a una pregunta básica que planteamos en el primer capítulo: ¿cuánto tiempo se tarda en alcanzar un punto fijo $\bar{x}$? Por la unicidad de soluciones afirmada en el teorema fundamental, la respuesta es: ¡un tiempo infinito! En efecto, sea $x(t)=\bar{x}$, $t\in\mathbb{R}$. Supongamos ahora que $\tilde{x}(t)$ es una solución que parte del punto fijo o de cualquier otro punto fijo y es tal que existe algún tiempo finito $t^*$ tal que $\tilde{x}(t^*)=\bar{x}=x(t^*)$. Por el teorema fundamental, hay que tener $x(t)=\tilde{x}(t)$ para todo $t$ en algún intervalo $(-\tau,\tau)$ sobre $t^*$. Pero obtenemos una contradicción ya que $x(t)$ y $\tilde{x}(t)$ son funciones distintas. Por tanto $t^*=\pm\infty$.
Prueba de la derivada para la estabilidad de los puntos fijos
Para describir el comportamiento de las soluciones cerca de un punto fijo introducimos el proceso de linealización. Si $\bar{x}$ es un punto fijo de la ecuación $\dot{x}=f(x)$ de forma que $f(\bar{x})=0$, hacemos el cambio de variable $u(t)=x(t)-\bar{x}$, que representa la desviación de la solución respecto a la solución constante. La sustitución da
$$ \dot{u}(t)=f(\bar{x}+u(t)) $$
y aplicando el teorema de Taylor se obtiene
$$ \dot{u}(t)=f(\bar{x})+f’(\bar{x})\thinspace u(t)+\frac{f’(\xi)}{2}\thinspace (u(t))^2 $$
para algún $\xi$ entre $\bar{x}$ y $\bar{x}+u(t)$. Dado que $f(\bar{x})=0$ y fijando $g(u)=\frac{f’(\xi)}{2} u^2$, podemos reescribir la ecuación anterior en la forma equivalente
$$ \dot{u}=f’(\bar{x})\thinspace u+g(u). $$
La función $g$ es pequeña en el sentido de que $g(u)/u\to 0$ a medida que $u\to 0$. La linealización de la ecuación diferencial en el punto fijo $\bar{x}$ se define como la ecuación diferencial lineal
$$ \dot{v}=f’(\bar{x})\thinspace v $$
que se obtiene despreciando el término de orden superior $g(u)$ en $\dot{u}=f’(\bar{x})\thinspace u+g(u)$. Esta ecuación lineal fue la primera que nos encontramos en este ebook y es fácil de resolver: la solución es $v(0)\exp\big(\thinspace f’(\bar{x})\thinspace t\big)$: si $f’(\bar{x})>0$, la solución crece exponencialmente, como $t\to+\infty$; si $f’(\bar{x})<0$, decrece exponencialmente; si $f’(\bar{x})=0$, es constantemente igual a $v(0)$.
Definimos ahora dos nociones de estabilidad. Informalmente, decimos que un punto fijo es estable si empezar cerca (lo suficiente) garantiza que se quede cerca. Decimos que es asintóticamente estable si todas las desviaciones iniciales suficientemente pequeñas producen pequeñas excursiones que finalmente vuelven al punto fijo.
La pregunta obvia es: ¿un punto fijo dado es estable o inestable? El siguiente teorema responde a esta pregunta de un modo que no debería sorprenderle.
Teorema. Supongamos que $\bar{x}$ es un punto fijo y que $f’(\bar{x})\neq 0$. Entonces es asintóticamente estable si $f’(\bar{x})<0$, e inestable si $f’(\bar{x})>0$.
Volviendo a la ecuación logística $\dot{x}=bx-dx^2$ ($b,d>0$), está claro que $0$ es inestable y $b/d$ es asintóticamente estable. Por supuesto, esto lo confirma el teorema: puesto que $f’(0)=b>0$ y $f’(b/d)=-b<0$.
En la mayoría de los ejemplos, somos capaces de determinar la estabilidad local de fijo por inspección gráfica, por lo tanto, el teorema anterior parece sólo para confirmar lo que es obvio a partir de un estudio gráfico. Pero dice más: ahora tenemos una medida de lo estable que es un punto fijo observando la magnitud de $f’(\bar{x})$. Esta magnitud desempeña el papel de una tasa exponencial de crecimiento o decaimiento. Su recíproco $1/|f’(\bar{x})|$ es una escala de tiempo característica que determina el tiempo necesario para que $x(t)$ varíe significativamente en la vecindad de $\bar{x}$.
No es sorprendente que el teorema no permita concluir en el caso en que $f’(\bar{x})=0$; tenemos que buscar el siguiente término de orden distinto de cero en la expansión de Taylor.
La prueba de la derivada prefigura lo que podemos hacer para un sistema de dimensiones superiores: el comportamiento cualitativo cerca de los puntos fijos debe predecirse observando la aproximación lineal del sistema.