Pour une équation $\dot{x}=f(x)$, rappelons qu’un point fixe $\bar{x}$ est un point tel que $f(\bar{x}\,)=0$ ; il correspond à une solution constante ou stationnaire $x(t)=\bar{x}$ qui est évidemment définie pour tout $t\in\mathbb{R}$.
Considérons à nouveau l’équation logistique $\dot{x}=bx-dx^2$ pour $x\geq 0$ ; elle possède deux points fixes, à savoir $0$ et $b/d$. Intuitivement, $0$ est un point fixe instable car il « repousse » les solutions qui partent de $x_0\in\, ]0,b/d[$, tandis que $b/d$ est un point fixe stable car il « attire » toutes les solutions partant de $x_0\in\, ]0,b/d[\, \cup\, ]b/d,+\infty[$.
Temps pour atteindre un point fixe
Avant d’étudier la notion de stabilité, nous répondons à une question de base que nous avons posée dans le premier chapitre : combien de temps faut-il pour atteindre un point fixe $\bar{x}$ ? Par l’unicité des solutions affirmée dans le théorème fondamental d’existence et d’unicité, la réponse est : un temps infini ! En effet, soit $x(t)=\bar{x}$, $t\in\mathbb{R}$. Supposons maintenant que $\tilde {\hspace{0pt}x}(t)$ est une solution qui ne part pas du point fixe (ou de tout autre point fixe) et qui est telle qu’il existe un temps fini $t^*$ tel que $\tilde {\hspace{0pt}x}(t^*)=\bar{x}=x(t^*)$. Par le théorème fondamental, on doit avoir $x(t)=\tilde {\hspace{0pt}x}(t)$ pour tout $t$ dans un certain intervalle $]-\tau,\tau[$ autour de $t^*$. Mais on obtient une contradiction puisque $x(t)$ et $\tilde {\hspace{0pt}x}(t)$ sont, par hypothèse, des fonctions distinctes. Ainsi $t^*=\pm\infty$.
Analyse de la stabilité des points fixes à l’aide de la dérivée.
Afin de décrire le comportement des solutions au voisinage d’un point fixe, nous introduisons le processus de linéarisation. Si $\bar{x}$ est un point fixe de l’équation $\dot{x}=f(x)$, de sorte que $f(\bar{x})=0$, on effectue le changement de variable $u(t)=x(t)-\bar{x}$, représentant l’écart de la solution par rapport à la solution constante. La substitution donne
$$ \dot{u}(t)=f(\bar{x}+u(t)) $$
et en appliquant le théorème de Taylor on obtient$$ \dot{u}(t)=f(\bar{x})+f’(\bar{x})\thinspace u(t)+\frac{f’(\xi)}{2}\thinspace (u(t))^2 $$
pour un certain $\xi$ compris entre $\bar{x}$ et $\bar{x}+u(t)$. Puisque $f(\bar{x})=0$ et en posant $g(u)=\frac{f’(\xi)}{2} u^2$, nous pouvons réécrire l’équation précédente sous la forme équivalente$$ \dot{u}=f’(\bar{x})\thinspace u+g(u). $$
La fonction $g$ est petite dans le sens que $g(u)/u \to 0$ quand $u$ tend vers $0$. La linéarisation de l’équation différentielle au point fixe $\bar{x}$ est définie comme étant l’équation différentielle linéaire$$ \dot{v}=f’(\bar{x})\thinspace v $$
qui est obtenue en négligeant le terme d’ordre supérieur $g(u)$ dans $\dot{u}=f’(\bar{x})\thinspace u+g(u)$. Cette équation linéaire est la première que nous rencontrons dans cet ebook et elle est facile à résoudre : la solution est $v(0)\ \exp\big(\thinspace f’(\bar{x})\thinspace t\big)$. On distingue trois cas. Si $f’(\bar{x})>0$, la solution croît exponentiellement, quand $t\to+\infty$ ; si $f’(\bar{x})<0$, elle décroît exponentiellement ; finalement, si $f’(\bar{x})=0$, elle est constamment égale à $v(0)$.Nous définissons maintenant deux notions de stabilité. De manière informelle, nous dirons qu’un point fixe est stable si le fait de commencer à s’en approcher (suffisamment) garantit que l’on reste proche. Nous disons qu’il est asymptotiquement stable si toutes les déviations initiales suffisamment petites produisent de petites excursions qui finissent par revenir au point fixe.
Une question s’impose d’emblée : un point fixe donné est-il stable ou non ? Le théorème suivant y apporte une réponse qui, vous le verrez, ne réserve guère de surprise.
Théorème. Supposons que $\bar{x}$ soit un point fixe et que $f’(\bar{x})\neq 0$. Alors il est asymptotiquement stable si $f’(\bar{x})<0$, et instable si $f’(\bar{x})>0$.
Pour en revenir à l’équation logistique $\dot{x}=bx-dx^2$ ($b,d>0$), il est clair que $0$ est instable et $b/d$ est asymptotiquement stable. Ceci est bien sûr confirmé par le théorème puisque $f’(0)=b>0$ et $f’(b/d)=-b<0$.
Dans la plupart des exemples, nous sommes capables de vérifier la stabilité locale des fixes par inspection graphique, donc le théorème précédent semble seulement confirmer ce qui est évident à partir d’une étude graphique. Mais il dit plus : nous avons maintenant une mesure de la stabilité d’un point fixe en regardant la taille de $f’(\bar{x})$ en valeur absolue. Elle joue le rôle d’un taux de croissance ou de décroissance exponentielle. Sa réciproque $1/|\,f’(\bar{x})|$ est une échelle de temps caractéristique déterminant le temps nécessaire pour que $x(t)$ varie significativement au voisinage de $\bar{x}$.
Il n’est pas surprenant que le théorème ne permette pas de conclure dans le cas où $f’(\bar{x})=0$ ; il faut alors chercher le prochain terme d’ordre non nul dans le développement de Taylor.
Le test de la dérivée préfigure ce que nous pouvons faire pour un système de dimension supérieure : le comportement qualitatif près des points fixes devrait être prédit en regardant l’approximation linéaire du système.