On peut empiler deux configurations stables en ajoutant case à case le nombre de grains. Bien sûr, des avalanches sont à prévoir, donc l’opération d’addition qu’on veut définir comporte la phase de relaxation vers une configuration stable. Notons $\oplus$ cette opération. Comme le lecteur peut s’en douter, l’ensemble des configurations récurrentes est le bon ensemble de configurations sur lequel définir $\oplus$ [1]. Qui dit groupe, dit élément identité, c-à-d une configuration particulière qui, ajoutée à toute configuration récurrente au sens de $\oplus$, laisse la configuration invariable.
La question qui se pose immédiatement est la suivante :
Comment calculer l’identité du groupe ?
Un peu de travail montre qu’on peut l’obtenir avec l’algorithme suivant : on part du quadrillage sans aucun grain puis on ajoute un grain dans chaque case qui se trouve sur le bord, excepté les quatre cases qui forment les coins auxquelles on ajoute deux grains.
On continue d’ajouter cette configuration spéciale (en laissant bien sûr le système relaxer entre chaque addition) jusqu’à ce qu’on obtienne une configuration qui n’évolue plus. Voici ce que l’on obtient avec la simulation ci-dessus pour différentes tailles du quadrillage :
