Mode d’emploi
Cliquez sur une case pour rajouter un grain.
Pour rajouter une « source » de grains, appuyez un court instant sur une case de la grille jusqu’à ce qu’elle apparaisse en vert. Puis appuyez sur « Activer les sources » pour lancer la simulation.
Clickez sur une source pour la supprimer.
Pour tester si une configuration est récurrente, cliquez sur « Test de combustion ». La configuration est récurrente lorsque toutes les cases sont « brûlées » (apparaissent en rouge).
En cas de problème avec cette expérience, rechargez la page.
Expérience numérique interactive disponible sur experiences.math.cnrs.fr
Exemple de configuration remarquable.
Prenons un quadrillage d’environ $600\times 600$ cases [1] et plaçons deux grains dans chaque case. Voici la configuration stable qu’on obtient après l’ajout de $150 000$ grains au centre du quadrillage :
Nous verrons d’autres configuration remarquables dans la suite de l’article.
Le tas de sable abélien vu comme une chaîne de Markov
L’étude rigoureuse de ce modèle a été initiée par le physicien indien Deepak Dhar au début des années 1990.
On peut définir une dynamique markovienne à partir des deux mécanismes de base qui sont (1) l’ajout d’un grain dans une case (2) la relaxation vers une configuration stable. Pour cela, on part d’une configuration stable donnée, on choisit une case au hasard [2] et on y ajoute un grain : si la case contient quatre grains, on laisse le système se stabiliser, si elle en contient moins de quatre, rien ne se passe ; puis on réitère l’opération. On continue ainsi indéfiniment.
On a ainsi défini une chaîne de Markov, à temps discret, dont l’espace des états (fini) est l’ensemble des configurations stables sur le quadrillage $N \times N$, où $N$ est fixé.
Une fois la dynamique définie, on peut se demander s’il y a des configurations récurrentes : existe-t-il des configurations telles que, si on démarre avec l’une d’entre elles et qu’on fait évoluer le système, cette configuration va apparaître une infinité de fois dans le futur, avec une probabilité égale à un ? Lorsqu’une configuration n’est pas récurrente, on dit qu’elle est transiente.
On peut démontrer que l’ensemble des configurations récurrentes communiquent toutes entre elles : étant donné deux configurations récurrentes, partant de l’une on obtient l’autre au bout d’un temps fini, avec une probabilité positive ; et vice-versa [3].
Il y a une autre définition des configurations récurrentes, équivalente à la précédente, qui ne semble ne pas avoir de lien avec la dynamique markovienne : une configuration est récurrente si, quelle que soit la case qu’on choisit, l’addition répétée de grains dans cette case particulière finit par nous ramener à la configuration initiale. (Nous sous-entendons qu’entre chaque addition, nous laissons le système se stabiliser.) Le nombre d’itérations nécessaire dépend bien sûr de la case choisie.
Une dernière propriété des configurations récurrentes que nous voulons mentionner est qu’elles « attirent » toutes les configurations stables : une configuration transiente finit par se transformer en une configuration récurrente en choisissant n’importe quelle case et en y ajoutant suffisamment de grains. Autrement dit, la dynamique du système finit tôt ou tard par se concentrer sur l’ensemble des configurations récurrentes.