Notre but est de donner au lecteur une idée des questions que se posent les mathématiciens sur ce modèle. Nombreuses sont celles
qui demeurent complètement ouvertes à ce jour, certaines pouvant sembler très basiques. Nous n’en mentionnons qu’un petit échantillon.
Avant de les aborder, observons qu’il y a deux paramètres dans le modèle :
la taille du quadrillage et sa dimension.
Nous avons décrit le modèle en dimension deux, sur un réseau carré identifié à $\mathbbZ^2$ [1], mais il est possible de le formuler en dimension $d$ quelconque, c’est-à-dire sur le réseau hypercubique $\mathbbZ^d$.
Faire tendre la taille du réseau vers l’infini, c-à-d considérer le système en volume infini, est une démarche naturelle pour le mathématicien et le physicien théoricien qui veulent se débarrasser des « effets de bord ». En effet, l’étendue d’une avalanche va être limitée par le bord du système. C’est donc seulement en volume infini que chercher à démontrer une distribution de la taille des avalanches en loi de puissance a un sens.
Loi de probabilité stationnaire en volume infini et criticalité
Il y a une loi de probabilité très simple dont le support est l’ensemble des configurations récurrentes : celle qui donne un poids identique à chaque case, indépendamment du nombre de grains qu’elle contient [2]. Cette loi de probabilité est en fait l’unique mesure de probabilité stationnaire pour le système [3]. Notons-la $\mu_N$ puisqu’elle dépend de la taille du système (dont le volume est $N^d$). On peut démontrer que si $N\to\infty$, $\mu_N$ tend vers une mesure de probabilité $\mu$, ce qui donne un sens à l’expression « tirer une configuration infinie selon $\mu$ ».
Pour $d=2$, on peut par exemple calculer exactement la probabilité qu’une configuration contienne un seul grain dans la case $(0,0)$ : elle vaut $\frac2\pi^2\big(1-\frac2\pi\big)$.
On sait également démontrer que certaines fonctions de corrélations suivent des lois de puissance, mais seulement lorsque $d\geq 3$
[4]. Il y a donc des corrélations à longue portée dans le système. Le cas $d=2$ n’a pas été mathématiquement traité à ce jour.
Une question naturelle concerne la finitude des avalanches. Prenons une configuration typique du système, en volume infini, et ajoutons un grain à l’origine. Une avalanche peut se produire. Si elle se produit, est-elle de taille finie ? A l’heure actuelle, on sait démontrer qu’une avalanche est finie avec probabilité un mais seulement lorsque $d\geq 3$. Le cas $d=2$ reste ouvert.
Une question plus précise concernant les avalanches est la distribution de leurs rayons. Les simulations numériques montrent que cette distribution suit une loi de puissance. Le seul résultat qui va dans ce sens se trouve dans un article récent [Jarai-Redig-Saada-2011] : si $d\geq 3$, la probabilité en volume infini qu’une avalanche ait un rayon plus grand que $r$ est comprise entre $c_1/r^d$ et $c_2/r^d-2$, où $c_1,c_2$ sont deux constantes positives. Rien n’est démontré à ce jour pour $d=2$.
Forme limite et fractalité
On peut observer que si on dépose $M$ grains au centre d’une configuration initiale homogène, la configuration finale sera sur un quadrillage de $N\times N$ cases, avec $N$ proportionnel à $\sqrt M $ sans qu’aucun grain ne soit perdu à cause du bord.
Si nous voulons ajouter $1000$ grains, il faudra donc un quadrillage d’environ $30\times 30$ cases. Si nous voulons ajouter $10 000$ grains, un quadrillage d’environ $100\times 100$ cases sera nécessaire. Et ainsi de suite.
Si on divise à chaque fois le côté du quadrillage par la racine carrée du nombre de grains qu’on a ajoutés, cela revient à garder la taille du système constante et à prendre des cases de plus en plus petites qui vont devenir quasiment des points lorsque le nombre de grains ajoutés est très grand. La question est : obtient-on une forme limite par ce processus ? Voici par exemple ce qui se passe si on part de la configuration homogène avec $0$ grain par case et qu’on ajoute de plus en plus de grains :
Il semble qu’une forme limite émerge et qu’elle soit fractale.
A l’heure actuelle, personne n’est en mesure de démontrer quoi que ce soit dans ce sens, à part l’existence de la limite dont l’énoncé est trop technique pour être donné ici. Le lecteur peut consulter l’article [Pegden-Smart-2012].
Mentionnons enfin que le modèle du tas de sable abélien peut être défini sur d’autres graphes que $\mathbbZ^2$. On peut par exemple prendre un réseau triangulaire [5]. En fait, le modèle peut être défini sur un graphe connexe arbitraire dans lequel un sommet est considéré comme un « puits », à savoir que tout grain qui arrive sur ce sommet disparaît du système.