« Criticalité auto-organisée » : késako ?

A partir de cet exemple, Bak dégage le concept de « criticalité auto-organisée » [1] pour décrire de façon unifiée les systèmes possédant un seuil de stabilité intrinsèque autour duquel ils tendent spontanément à se maintenir. Tant que l’on fournit de la matière, le système va évoluer de telle sorte qu’il se rapproche de son seuil de stabilité ; dès que ce seuil est dépassé, le système relaxe rapidement pour se retrouver dans un état provisoirement stable jusqu’à la prochaine « avalanche », à l’instar du tas de sable.

Dans son livre [Bak-1996], Bak développe hardiment ses idées pour les appliquer à de nombreux systèmes complexes comme, par exemple, les tremblements de terre, les embouteillages routiers, les krachs boursiers, les extinctions massives dans l’évolution des espèces, la percolation d’invasion, la géométrie des soudures, les décharges neuronales, les réseaux urbains, etc. Récemment, on a mis en évidence un comportement critique auto-organisé pour de grands groupes d’Étourneaux sansonnets. On peut consulter un article sur ce sujet ici et y visionner un film spectaculaire.

Le point clé de la criticalité auto-organisée est qu’une même perturbation (l’ajout d’un grain de sable par ex.) peut avoir des effets minimes (locaux) ou bien des effets à grande échelle. Plus précisément, la probabilité pour que des avalanches de grande taille ait lieu est suffisamment élevée pour que les avalanches n’aient pas de taille moyenne définie, c’est-à-dire, pas de taille caractéristique autour de laquelle les tailles d’avalanches fluctueraient de façon normale [2]. Mathématiquement, on parle de lois de puissance. De telles lois quantifient la présence de corrélations à très longue portée dans le système.

C’est en fait en physique statistique que de telles lois ont été d’abord observées : par exemple, un matériau ferromagnétique est aimanté à suffisamment basse température tandis qu’il perd son aimantation dès qu’une température critique est dépassée. C’est l’exemple emblématique de ce qu’on appelle une « transition de phase ». Quand la température vaut exactement la valeur critique, tous les éléments (« spins ») du matériau s’influencent mutuellement. Les physiciens parlent de « phénomènes critiques ».

Le ferromagnétisme qu’on observe dans la nature est un phénomène extrêmement compliqué à décrire mathématiquement. Les physiciens se sont donc résignés à introduire un modèle ultra-simplifié mais néanmoins capable de capturer l’essence de cette transition de phase. Il s’agit du modèle d’Ising [3] pour lequel on est effectivement capable de démontrer (en dimension deux) la criticalité pour la température critique.

En savoir plus sur la criticalité dans le modèle d’Ising

Nous allons brièvement évoquer le modèle d’Ising qui, bien qu’étant une caricature grossière, capture l’essence du ferromagnétisme : certains métaux ont une aimantation qui disparaît au dessus d’une certaine température, dite de Curie. Nous allons voir que la bifurcation entre la phase aimantée et la phase non aimantée se passe pour une température critique précise et qu’à cette température le système présente des propriétés surprenantes.

Décrivons-le très succinctement en dimension deux [4] : en chaque noeud d’une grille carrée de très grande taille (disons $10^23$ noeuds), on a une variable d’état qui est soit ’+’ et qui symbolise un « spin » orienté vers le haut, soit ’-’ et qui symbolise un spin orienté vers le bas.

Chaque spin n’interagit qu’avec ses plus proches voisins (il y en a donc 4). Lorsque la température est nulle (0 Kelvin), les spins sont tous identiques (soit tous ’+’ soit tous ’-’), il y a donc seulement deux configurations possibles qui, en fait, minimisent l’énergie du système. A l’opposé, lorsque la température est infinie, toutes les configurations de ’+’ et de ’-’ deviennent équiprobables et il y a donc un très grand nombre de configurations possibles. C’est comme si on tirait à Pile-ou-Face chaque spin, indépendamment des autres.

La question qui vient immédiatement à l’esprit est : que se passe-t-il pour les températures intermédiaires ? On pressent une compétition entre l’interaction qui favorise le regroupement des spins et l’« agitation thermique » qui a tendance à détruire ces regroupements. On peut observer numériquement et prouver mathématiquement qu’il y a en fait un phénomène remarquable : il existe une température critique $T_c$ [5] qui sépare une phase désordonnée de haute température ($T>T_c$) d’une phase ordonnée de basse température ($T < T_c$) dans laquelle de grands amas de spins ’+’ et de spins ’-’ sont présents. Cette dernière est caractérisée par une aimantation spontanée. Cette aimantation devient nulle quand $T>T_c$ car il y a statistiquement autant de spins ’+’ que de spins ’-’.

Simulation du modèle de Ising sur youtube

On peut montrer que pour $T>T_c$, l’influence d’un spin sur un autre est exponentiellement petite comme fonction de leur distance de séparation. Cette loi permet de caractériser grossièrement la « longueur de corrélation » du système, c-à-d le rayon de la zone d’influence effective d’un spin. Cette échelle de longueur caractéristique dépend de la température et diverge quand on tend vers $T_c$. Quand on s’approche de $T_c$ en partant de températures plus petites que $T_c$, les amas de ’+’ et de ’-’ deviennent de plus en plus grands.
Mais que se passe-t-il quand la température est exactement égale à $T_c$ ? Une analyse numérique plus poussée et des mathématiques sophistiquées [6] montrent que des amas de toutes tailles apparaissent, ce que mathématiquement on formalise par une loi de puissance, sans échelle de longueur caractéristique : la corrélation entre deux spins, l’un au point $(0,0)$ l’autre au point $(n,n)$ (pour fixer les idées), se comporte comme $\frac1 n^1/4 $. Dit plus dramatiquement, le modèle d’Ising à la température critique est statistiquement invariant d’échelle.

Dans le cas du modèle d’Ising et de nombreux autres modèles de Physique Statistique, le point est qu’il faut un expérimentateur attentionné qui ajuste le bon paramètre à la bonne valeur pour mettre le système dans son état critique. Jusqu’au début des années 1980, on pensait que les phénomènes critiques étaient en effet des phénomènes qui n’apparaissent que dans des circonstances exceptionnelles, contrôlées par un paramètre extérieur.
Le but de Bak, Tang et Wiesenfeld dans leur article fondateur [BTW-1987] était de proposer le modèle le plus simple possible capable de se placer, sans paramètre d’ajustement, dans une phase critique [7].
C’est ce modèle, appelé « tas de sable abélien » [8] ou modèle de Bak-Tang-Wiesenfeld, que nous allons maintenant décrire et partiellement explorer.