Considérons le mouvement du pendule idéalisé suivant : un bob de masse $m$ est attaché à une extrémité d’une tige rigide sans masse. L’autre extrémité de la tige est pivotée afin que la masse puisse osciller dans un plan vertical. Nous négligeons à la fois le frottement du pivot et la résistance de l’air.
Le balancement du pendule est gouverné par
$$ \ddot{\theta}=-\frac{g}{L} \sin \theta $$
où $\theta$ est l’angle entre la tige et la verticale descendante. Cette équation est dérivée dans tous les manuels de mécanique classique.Représentation du plan de phase.
Faisons la même astuce que pour l’oscillateur harmonique en représentant l’état du pendule comme un point du plan de phase $x=\theta$, $y=\dot{\theta}$. On obtient
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\\\N \dot{y}=-\omega^2 \sin x \end{cases} $$
où $\omega^2=\frac{g}{L}$. (Remarquez que $\omega$ a la dimension d’une fréquence).Dessinons le portrait de phase !
On peut maintenant s’intéresser aux trajectoires de ce système. Dans l’expérience numérique suivante, on peut tirer la masse de sa position de repos, la laisser tomber (sans vitesse) et voir immédiatement la trajectoire résultante dans le plan de phase. On peut aussi choisir un point dans le plan de phase et voir immédiatement le mouvement du pendule qui en résulte. Si l’on ne prend pas un point sur l’axe $x$, cela signifie que l’on part avec une vitesse non nulle (on donne un coup de pied à la masse).
En fait, les points d’équilibre sont $(k\pi,0)$, où $k\in\mathbb{Z}$. L’origine dans le portrait de phase correspond à la position d’équilibre stable du pendule suspendu droit vers le bas. Les points $(\pm k\pi,0)$, $k\in\mathbb{Z}\backslash \{0\}$, correspondent à la position d’équilibre instable où le pendule est droit vers le haut. Limitons-nous aux points $(-\pi,0)$, $(0,0)$, $(\pi,0)$, puisque le portrait de phase est périodique dans la direction $x$ (en translatant horizontalement les points du portrait de phase d’une distance qui est un multiple de $2\pi$, on obtient le même portrait de phase).
Nous observons deux comportements génériques qui se déroulent dans deux régions distinctes :
- des trajectoires fermées encerclant l’origine, qui décrivent les mouvements périodiques du pendule se balançant d’avant en arrière ;
- les trajectoires non fermées, qui sont périodiques dans la direction $x$, et qui décrivent les mouvements où la masse tourne sans fin autour du pivot.
Ces deux types de trajectoires sont séparés par une courbe en forme d’œil, appelée la séparatrice. On peut l’obtenir (approximativement) en laissant tomber la masse de très près depuis sa position de repos renversée.
Remarquez que, mathématiquement, la véritable séparatrice correspond à un ensemble d’états initiaux dont l’aire est nulle dans le plan. Elle correspond à des mouvements exceptionnels tels que le pendule tend vers l’équilibre instable, ce qui prend un temps infini.
$$
\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\omega^2(1-\cos\theta)=\text{const}
$$ $$
E(x,y)=\frac{y^2}{2}-\omega^2(1-\cos x).
$$
Il est bien connu que nous avons une conservation de l’énergie totale (cinétique $+$ potentielle) car nous négligeons le frottement du pivot et la résistance de l’air. Comme montré dans n’importe quel manuel de mécanique classique.