Assume que, au voisinage de $\mu=\mu^*$, la matrice jacobienne du champ de vecteurs évalué en $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$ a des valeurs propres de la forme
$$ a(\mu)\pm i b(\mu) $$
avec
$$ a(\mu^*)=0\quad\text{et}\quad b(\mu^*)\neq 0. $$
Supposons également que les parties réelles des valeurs propres changent de signe lorsque l’on fait varier $\mu$ à travers $\mu^*$, c’est-à-dire ,
$$ \frac{\text{d}a}{\text{d}\mu}(\mu^*)\neq 0. $$
Compte tenu de ces hypothèses, les possibilités suivantes se présentent :
- Il existe un intervalle $\mu^*<\mu<\mu_1$ tel qu’un cycle limite entoure $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$. En faisant varier $\mu$, le diamètre du cycle limite change proportionnellement à $\sqrt{|\mu-\mu^*|}$. Il n’existe aucune autre trajectoire fermée au voisinage de $(\bar{x}(\mu),\bar{y}(\mu))$. Ce cas est appelé bifurcation supercritique.
- Il existe un intervalle $\mu_0<\mu<\mu^*$ tel qu’une conclusion similaire au cas précédent est valable. Ce cas est appelé bifurcation sous-critique.