Volvamos a la ecología para plantear un fenómeno sorprendente: el caos determinista. Más adelante veremos otros ejemplos. Nuestro objetivo no es analizar a fondo este fenómeno aquí, sino mostrar lo complejo que puede ser el comportamiento de un modelo de apariencia inocente.
Modelizamos la interacción entre un depredador y dos poblaciones de presas que compiten entre sí de la forma más sencilla. Consideremos primero las dos poblaciones de presas en ausencia del depredador. Si $x$ e $y$ denotan sus densidades, entonces las tasas de crecimiento $\dot{x}/x$ y $\dot{y}/y$ tienen que ser funciones decrecientes tanto de $x$ como de $y$. Esto nos lleva a
$$ \begin{cases} \dot{x}=x(1- a_{11} x-a_{12} y)\\ \dot{y}=y(1-a_{21}x-a_{22}y) \end{cases} $$
donde $a_{11},a_{12},a_{21}, a_{22}$ son parámetros positivos. Estudiaremos este modelo de competencia más adelante en este ebook. Vemos que si una población de presas está ausente, entonces la otra sigue la ecuación logística. Añadimos ahora la ecuación para el depredador y modificamos las ecuaciones anteriores en consecuencia:
$$ \begin{cases} \dot{x}=x(1- a_{11} x-a_{12} y-a_{13}z)\\ \dot{y}=y(1-a_{21}x-a_{22}y-a_{23}z)\\ \dot{z}=z(-1+a_{31}x+a_{32} y-a_{33}z) \end{cases} $$
donde todos los parámetros son positivos. Obtenemos un sistema con un espacio de fases tridimensional. En el siguiente experimento digital, tomamos
$$ a_{11}=a_{12}=1, a_{13}=10, a_{21}=1.5, a_{22}=a_{23}=1, a_{31}=5, a_{32}=0.5, a_{33}=0.01. $$
Podemos observar las siguientes características. Tras un transitorio inicial, la solución, que es el triplete $(x(t),y(t),z(t))$ de las tres densidades de población, se instala en un régimen oscilatorio irregular que parece persistir para todos los tiempos. Estas oscilaciones parecen no repetirse nunca exactamente: el movimiento es aperiódico. Geométricamente, vemos que, tras un transitorio, la trayectoria del sistema llena una especie de ‘superficie’. Esta superficie es bastante extraña porque atrae a todas las soluciones que parten de condiciones iniciales en su vecindad y que luego vagan por ella sin fin. Como veremos, las trayectorias correspondientes no pueden cruzarse, como consecuencia de un teorema general sobre ecuaciones diferenciales.
Otro fenómeno clave que podemos observar es la ‘dependencia sensible de las condiciones iniciales’. Esto significa que dos trayectorias que empiezan muy cerca divergirán rápidamente entre sí y, a partir de entonces, tendrán futuros totalmente distintos. Este fenómeno se combina con un confinamiento de las trayectorias. La combinación de estos dos ingredientes es lo que genera el caos determinista.
De hecho, la dependencia sensible de las condiciones iniciales por sí sola carece de interés. Pensemos por ejemplo en el sistema unidimensional $\dot{x}=x$. Escojamos dos condiciones iniciales positivas distintas $x_0,x_0’$. Entonces es obvio que $|x(t)-x’(t)|=|x_0-x_0’| \, e^t$ para todo $t\geq 0$. Así, las soluciones se separan exponencialmente rápido entre sí, pero cada solución tiene un comportamiento trivial (tienden monotónicamente a $+\infty$). Este ejemplo puede extenderse fácilmente a cualquier dimensión.
Este es nuestro primer ejemplo de un atractor que no es ni un punto fijo (solución constante) ni una trayectoria cerrada (solución periódica). Es mucho más complicado, de hecho es un conjunto fractal cuya dimensión de Hausdorff parece estar entre $2$ y $3$, pero nadie lo ha demostrado hasta ahora. ¡Tiene volumen cero pero superficie infinita!