Consideremos el movimiento del siguiente péndulo idealizado: una masa $m$ está unida a un extremo de una varilla rígida sin masa. El otro extremo de la varilla pivota para que la masa pueda oscilar en un plano vertical. Despreciamos tanto la fricción del pivote como la resistencia del aire.
La oscilación del péndulo se rige por
$$ \ddot{\theta}=-\frac{g}{L} \sin \theta $$
donde $\theta$ es el ángulo entre la varilla y la vertical descendente. Esta ecuación se deriva en todos los libros de texto de mecánica clásica.
Representación del plano de fase.
Hagamos el mismo truco que para el oscilador armónico representando el estado del péndulo como un punto en el plano de fase $x=\theta$, $y=\dot{\theta}$. Se obtiene
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=-\omega^2 \sin x \end{cases} $$
donde $\omega^2=\frac{g}{L}$. (Nótese que $\omega$ tiene la dimensión de una frecuencia).
¡Vamos a dibujar el retrato de la fase!
Ahora podemos observar las trayectorias de este sistema. En el siguiente experimento digital, se puede sacar la masa de su posición de reposo, dejarla caer (sin velocidad) y ver inmediatamente la trayectoria resultante en el plano de fase. También se puede seleccionar un punto en el plano de fase y ver inmediatamente el movimiento resultante del péndulo. Si no se elige un punto en el eje $x$, significa que se parte de una velocidad distinta de cero (damos una patada a la masa).
En realidad los puntos de equilibrio son $(k\pi,0)$, donde $k\in\mathbb{Z}$. El origen en el retrato de fase corresponde a la posición de equilibrio estable del péndulo que cuelga recto hacia abajo. Los puntos $(\pm k\pi,0)$, $k\in\mathbb{Z}\backslash \{0\}$, corresponden a la posición de equilibrio inestable en la que el péndulo está recto hacia arriba. Limitémonos a los puntos $(-\pi,0)$, $(0,0)$, $(\pi,0)$, ya que el retrato de fase es periódico en la dirección $x$ (trasladando horizontalmente puntos del retrato de fase una distancia que sea múltiplo de $2\pi$ se obtiene el mismo retrato de fase).
Observamos dos comportamientos genéricos que tienen lugar en dos regiones separadas:
- trayectorias cerradas que rodean el origen, y que describen los movimientos periódicos del péndulo que oscila hacia adelante y hacia atrás;
- trayectorias no cerradas, que son periódicas en la dirección $x$, y que describen movimientos en los que la masa gira alrededor del pivote sin cesar.
Estos dos tipos de trayectorias están separados por una curva en forma de ojo, llamada separatriz. Se puede obtener (aproximadamente) dejando caer la masa muy cerca desde su posición de reposo boca abajo.
Obsérvese que, matemáticamente, la verdadera separatriz corresponde a un conjunto de estados iniciales que tiene área cero en el plano. Corresponde a movimientos excepcionales tales que el péndulo tiende al equilibrio inestable, lo que lleva una cantidad infinita de tiempo.
$$
\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\omega^2(1-\cos\theta)=\text{const}
$$ $$
E(x,y)=\frac{y^2}{2}-\omega^2(1-\cos x).
$$
Es bien sabido que tenemos conservación de la energía total (cinética $+$ potencial) porque despreciamos la fricción del pivote y la resistencia del aire. Como se muestra en cualquier libro de texto de mecánica clásica
lo que significa que cada movimiento tiene individualmente su propia energía que no cambia con el tiempo. Traducido a nuestro lenguaje de plano de fase, esto significa que las trayectorias de las soluciones en el plano $xy$ son curvas de nivel de la función
El péndulo amortiguado.
Cuando añadimos al sistema del péndulo un término de perturbación para representar el rozamiento del aire, una situación físicamente más realista, la energía ya no se conserva : disminuye con el tiempo y tenemos oscilaciones amortiguadas. Suponemos que el rozamiento es proporcional a la velocidad y llamamos $\mu$ al coeficiente de rozamiento. Se obtiene
$$ \ddot{\theta}=-\omega^2\sin \theta -\mu \dot{\theta}. $$
Pasando a la representación del plano de fase obtenemos así
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=-\omega^2\sin x -\mu y. \end{cases} $$
Ahora vemos que el punto de equilibrio $(0,0)$ es un attractor : todas las soluciones convergen hacia este punto. Las trayectorias correspondientes tienen un comportamiento en espiral si $\mu$ no es demasiado grande. Por supuesto recuperamos el retrato de fase del péndulo no amortiguado cuando $\mu=0$.
Aproximación lineal.
Debido a la función seno, la ecuación del péndulo no es lineal. Sin embargo, si la desviación angular del péndulo es muy pequeña, resulta tentador aproximar $\sin x$ por $x$, lo que conduce a
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=-\omega^2 x-\mu y. \end{cases} $$
Obtenemos la misma ecuación que para el oscilador armónico. Esto está de acuerdo con lo que se puede ver cuando comparamos el retrato de fase del oscilador armónico con el del péndulo en una vecindad cercana de $(0,0)$.
Tenemos un ejemplo de lo que una aproximación lineal puede decirnos sobre un sistema no lineal, pero sólo localmente sobre un punto de equilibrio. Más adelante desarrollaremos mucho más esta aproximación.